Budget et systèmes mixtes de demande Budget and mixed demand systems

RÉSUMÉ

Dans le cadre de l’étude des systèmes mixtes introduits par Samuelson (1960), on est amené à établir une relation de conjugaison entre chaque variable primale et une variable duale. On se demande alors si, par exemple dans le cas des systèmes de demande, il existe un système mixte où les k premières variables primales et les n-k dernières variables duales du système peuvent être exprimées en fonction des variables complémentaires. Cependant, pour la contrainte de budget, considérée comme variable duale, la seule variable primale candidate au rôle de variable primale conjuguée est le numéraire.

Nous étudions ici cette conjugaison à partir des préférences et de la fonction inverse de demande intrinsèque au consommateur (i.e. sans aucune référence à un contexte institutionnel) définie par les utilités marginales normalisées (et la fonction budget que l’on peut leur associer) et examinons le problème d’existence des systèmes mixtes relevant de cette conjugaison. En particulier, notre proposition 3 établit que si les préférences sont définies et deux fois continument différentiables sur l’orthant Rⁿ₊, il existe un sous-ensemble ouvert non borné de Rⁿ+ sur lequel le numéraire peut être substitué au budget comme variable (exogène) d’un système mixte de demande. Plusieurs contre-exemples montrent que cette propriété n’est en général pas vraie sur tout l’ensemble de définition des préférences (ni même sur un sous-ensemble ouvert dense). Cependant, nos contre-exemples faisant appel à des préférences qui, soit exhibent des saturations, soit ne sont pas définies sur Rⁿ+ tout entier, la question de substituer « ouvert dense » (donc un ensemble dont le complémentaire est de mesure nulle) à « ouvert non borné » dans la proposition 3 reste ouverte.

ABSTRACT

P.A. Samuelson (1960) has pointed out that, in equilibrium systems, n (primal) variables (x¹, ..., xⁿ) and n (dual) variables (y¹, ..., yⁿ) are pairwise conjugate. If, with each pair of conjugate variables, we select one and only one of the elements of the pair, we get 2ⁿ equivalent equilibrium systems. This approach to "mixed equilibrium systems" does not extend mutatis mutandis to consumer theory, where mixed demand is derived through maximization of a mixed utility function (cf. Samuelson, 1965, or Chavas, 1984) or by partially inverting the local demand system (cf. Salvas, Bronsard et Leblanc, 1977). In this paper, we study the existence problem of such mixed demand systems, defined intrinsically, with particular focus on the, yet unexplored, potential conjugacy relation between numeraire and budget constraint. In particular our proposition 3 states that, if preferences are defined and twice continuously differentiable over the strictly positive orthant Rⁿ+, then there exists an open unbounded subset of Rⁿ+, on which the numeraire can be substituted to the budget as exogenous variable of a mixed demand system. We also provide counterexamples, which show this is generally not true over the whole set on which preferences are defined (or even on an open dense subset of it). However, since our counterexamples deal with preferences which either exhibit satiation or are not defined over the whole of Rⁿ+, the question to replace "open unbounded" in proposition 3 by "open dense" (so that the complementary set would be a null set) remains open.