Modélisation de la pauvreté urbaine dans la région métropolitaine de Montréal entre 1986 et 2016 : apport des régressions spatiales par panel

Gaboriault-Boudreau, Maxime; Apparicio, Philippe; Brunelle, Cédric

doi:https://doi.org/10.7202/1084230ar

Introduction

Depuis une trentaine d’années, économètres, épidémiologistes et géographes développent et utilisent abondamment des méthodes de modélisation intégrant l’espace, et ce, afin de contrôler la variable de dépendance spatiale et l’hétérogénéité spatiale des modèles classiques. Parmi ces modèles, citons notamment les modèles spatiaux autorégressifs (SAR-Lag, SAR-Error, CAR-Error, SAR lagged-mixed) (Anselin, 1988 ; Keitt et al., 2002 ; Haining, 2003), les modèles de régression géographiquement pondérée (Fotheringham et al., 2003), les modèles Spatial Eigenvector Mapping (SEVM) (Griffith et Peres-Neto, 2006 ; Griffith, 2013), les modèles additifs généralisés avec une fonction pour les coordonnées géographiques (Trend surface GAM) (Zuur et al., 2013), les modèles GAM avec Random Markov Field (RMF) (Rue et Held, 2005 ; Wood, 2017) ou encore les modèles des moindres carrés généralisés (Generalized Least Square Model) avec une structure d’autocorrélation dans le terme d’erreur (Cressie, 2015). Pour une présentation et une comparaison succincte de ces méthodes qui prennent en compte l’autocorrélation spatiale, on pourra consulter la revue de littérature de Dormann et al. (2007).

Parmi ces méthodes, les modèles autorégressifs proposés par Anselin (1988) sont sans aucun doute les plus utilisés par les géographes. Au Québec, ils ont été surtout mobilisés en géographie urbaine. En guise d’exemple, pour la région de Montréal, les régressions spatiales ont été utilisées dans le cadre de travaux rattachés à des thématiques très diverses afin de modéliser les distributions de la végétation urbaine (Pham et al., 2012 et 2013), du bruit routier (Carrier et al., 2016 a et b), de la pollution atmosphérique (Carrier et al., 2014), de plusieurs nuisances urbaines simultanément (Carrier et al., 2016c), des emplois de la nouvelle économie liée aux nouvelles technologies (Duvivier et al., 2018) ou encore l’exposition des cyclistes au bruit et à la pollution (Apparicio et al., 2016). D’autres auteurs tirent profit des régressions spatiales. Dubé et Polèse (2015) analysent ainsi les impacts de la récession de 2008 au Canada à l’aide de modèles spatiaux, mais c’est surtout dans le champ de la modélisation hédonique des valeurs résidentielles que ces modèles sont utilisés (Kestens et al., 2006). La dimension temporelle des données est même intégrée dans ce champ, notamment dans des modèles spatiaux de différence-de-différence (SDID) (Dubé et al., 2014 ; Devaux et al., 2017) et dans les modèles spatiotemporels autorégressifs (STAR) (Dubé et Legros, 2014a; Thanos et al., 2016).

Récemment, des extensions des modèles autorégressifs ont été proposées afin de traiter de cette nature spatiotemporelle, mais cette fois en considérant des données par panel (Elhorst, 2009 ; Lesage, 2014). Ces modèles spatiaux par panel constituent ainsi des outils économétriques puissants pour la modélisation de données spatiales longitudinales (Kopczewska et al., 2017), en particulier celles extraites de plusieurs recensements de population ancrées à un découpage spatial spécifique (secteur, subdivision ou division de recensement, par exemple). Ces méthodes sont employées dans plusieurs études empiriques récentes en géographie économique et en économie régionale. Notamment, Parajuli et Haynes (2017) étudient la formation de nouvelles entreprises dans les comtés de Nouvelle-Angleterre (NA) entre 1999 et 2009 alors que Qian et Zhao (2018) le font pour le cas particulier des entreprises de la nouvelle économie, de 1999 à 2012, et comparent la NA et la Californie. Quant à Yu et al. (2013) et Tong et al. (2013), ils s’intéressent aux impacts des infrastructures de transport : les premiers sur le produit intérieur brut (PIB) réel de 29 provinces chinoises, de 1978 à 2009, et les seconds, sur la valeur de la production agricole dans 44 États américains durant la période 1981‑2004. Les régressions spatiales par panel sont aussi utilisées pour l’étude de la pollution. Ge et al. (2018) s’intéressent à l’influence de facteurs économiques comme la croissance du PIB ou l’urbanisation sur les émissions d’oxydes de carbone dans 30 provinces chinoises, entre 2010 et 2015, alors que Burnett et al. (2013) estiment l’impact des prix des différentes sources d’énergie sur les émissions de CO² dans 48 États américains contigus, de 1970 à 2009.

Il n’en demeure pas moins que, à l’heure actuelle, ces modèles spatiaux par panel sont très peu connus et utilisés par les géographes. Par conséquent, notre objectif, dans cet article, est avant tout méthodologique : décrire en détail cette méthode et illustrer ses avantages pour l’élaboration de diagnostics urbains longitudinaux, et ce, en utilisant un jeu de données sur la pauvreté urbaine dans la région métropolitaine de Montréal de 1986 à 2016.

Territoire d’étude, unités spatiales et variables retenues

Afin de caractériser l’effet des facteurs associés à la pauvreté dans la région métropolitaine de recensement (RMR) de Montréal sur une période de 30 ans (1986 à 2016), nous avons recours à une approche par panel. À l’instar d’autres travaux menés à Montréal sur des données longitudinales (Ades et al., 2012 ; Séguin et al., 2012 et 2016), cela nécessite deux traitements géographiques préalables puisque la délimitation de plusieurs secteurs de recensement varie d’un recensement à l’autre, tout comme celle de la région métropolitaine, qui prend habituellement de l’expansion avec le temps.

Premièrement, nous avons retenu comme délimitation de la région d’étude les frontières de la RMR de 1986, soit l’année de départ. Deuxièmement, étant donné que le nombre et la géographie des secteurs de recensement (SR – unité géographique comprenant habituellement de 2 500 à 8 000 habitants) varie légèrement d’un recensement à l’autre, certains SR adjacents ont été agrégés. On s’assure ainsi d’avoir le même nombre et la même délimitation des SR pour chacune des sept années de recensement (1986, 1991, 1996, 2001, 2006, 2011 et 2016). En d’autres termes, ces deux traitements géographiques permettent d’obtenir une homogénéité spatiale et temporelle des unités statistiques, condition indispensable à des données par panel. Au final, le jeu de données est composé de 672 individus (SR avec N = 672) et sept années des recensements (T = 7).

Comme variable dépendante, nous avons retenu le pourcentage de personnes dans les ménages privés à faible revenu [1] dans l’ensemble de la population. Tel que montré par des études longitudinales récentes (Ades et al., 2012 ; Séguin et al., 2012), la cartographie de ce pourcentage pour les sept années de recensement (1986 à 2016) souligne la concentration de la pauvreté sur l’île de Montréal, mais aussi la gentrification des quartiers centraux et une certaine suburbanisation de la pauvreté durant la période d’étude (figure 1). Concernant les facteurs prédictifs, nous avons retenu les facteurs classiques associés à la pauvreté, à savoir le chômage, la monoparentalité, la faible scolarité, le fait de vivre seul, l’immigration récente et le fait d’avoir 65 ans ou plus (Lee, 2000 ; Heisz et McLeod, 2004 ; Groulx, 2011 ; Gouvernement du Canada, 2016). Par conséquent, les pourcentages de ces différents groupes constituent nos variables indépendantes (tableau 1), telles que sélectionnées dans les études récentes sur la modélisation de la pauvreté à Montréal (Apparicio et al., 2007 ; Séguin et al., 2012). Il aurait aussi été judicieux d’inclure d’autres variables dans nos modèles, comme le pourcentage de minorités visibles, soit un groupe de population particulièrement vulnérable à la pauvreté (Leloup, 2007 ; Groulx, 2011). Toutefois, cette variable n’est disponible qu’à partir du recensement de 1996, et non pour toute la période d’étude.

TABLEAU 1

**Statistiques descriptives pour les différentes variables des modèles par panel (N = 672)**

FIGURE 1

**Distribution spatiale de la pauvreté dans la région métropolitaine de Montréal, de 1986 à 2016**

Un bref retour sur les modèles par panel standards (non spatiaux)

Notre objectif, dans cette section, est de décrire brièvement les différents modèles non spatiaux qui permettent d’analyser des jeux de données par panel, composés de N individus pour lesquels un ensemble de variables sont observées à T dates (Baltagi, 2013). Nous nous limiterons ici aux modèles linéaires. En d’autres termes, nous n’aborderons pas les modèles de régression par panel logistique (Wooldridge, 2002 : 482-497), les régressions catégorielles ordinales par panel (Pfarr et al., 2010) ou encore les processus de comptage par panel (Hausman et al., 1984).

Les différents types de modèles par panel

La régression linéaire par panel standard consiste à modéliser une variable dépendante Y sur la base de K variables indépendantes à partir de l’équation suivante (Baltagi, 2013) :

avec X_it le vecteur des valeurs des K variables indépendantes de l’individu i (SR) au temps t (année de recensement), β le vecteur de coefficient associé et α représente la constante. Le terme d’erreur u_it est ici défini dans sa forme la plus spécifique où µ_i représente les effets individuels qui ne changent pas pour un même individu au cours du temps et λ_t les effets temporels, qui affectent tous les individus de la même façon pour une période t donnée. Le terme restant v_it est le résidu usuel de la régression tel que v_it ~ iid(0,). En cas d’absence d’effets, soit quand u_it = v_it dans l’équation 1, on a alors un modèle dit groupé (pooled OLS). Par contre, si l’on a des effets individuels µ_i et/ou temporels λ_t, il convient alors de déterminer leur nature, qui peut être soit aléatoire, soit fixe (Baltagi, 2013). Dans le cas d’effets aléatoires (RE – random effects) mixtes (effets individuels et temporels), on a alors µ_i ~ iid(0,) et λ_t ~ iid(0,) tel que µ_i, λ_t et v_it sont tous indépendants entre eux et indépendants de X_it pour tout i et tout t (Baltagi, 2013 : 42). Dans le cas d’effets fixes (FE – fixed effects), µ_i et λ_t ne sont plus tenus d’être indépendants avec le vecteur de variables indépendantes X_it (Wooldridge, 2002 : 251-252).

Identification de la présence et de la nature des effets dans les modèles par panel

Les spécifications des trois modèles décrits précédemment – groupé, FE et RE – font non seulement varier considérablement les estimations des coefficients non spatiaux, mais aussi les dépendances spatiales à inclure dans le modèle final (Elhorst, 2012). Il est donc primordial, dans une étude spatiale par panel, de bien déterminer, au préalable, le modèle non spatial le mieux adapté aux données. Pour identifier la présence, le type et la nature d’effets dans un modèle panel non spatial, nous proposons une méthode en trois étapes schématisées à la figure 2, sur la base de tests présentés dans Baltagi (2013).

À l’étape 1, à partir des statistiques du LM de Breusch et Pagan, on vérifie s’il est préférable d’utiliser un modèle avec effets aléatoires temporels (avec l’hypothèse ), individuels () ou mixtes () plutôt qu’un modèle groupé (Baltagi, 2013 : 68). Simultanément, à partir des statistiques F, on teste si l’inclusion d’effets fixes dans le modèle groupé est pertinente selon trois hypothèses (Baltagi, 2013 : 40) : l’absence d’effets fixes temporels en présence d’effets fixes individuels (), l’absence d’effets fixes individuels en présence d’effets fixes temporels (), l’absence à la fois d’effets fixes individuels et temporels ( ). Notons que si et sont rejetées ou si est rejetée, on penchera pour les effets mixtes, peu importe les valeurs respectives des tests.

Si aucun des tests LM ou des statistiques F n’est significatif, on conserve le modèle groupé sans effets (figure 2.a). Si une seule des séries de tests entre les LM et les statistiques F donne des résultats significatifs, on conserve le modèle associé avec des effets fixes ou aléatoires de nature individuelle, temporelle ou mixte (figure 2.b et c). Finalement, si les tests LM et F sont tous deux significatifs, il convient de passer à l’étape 2, qui consiste à choisir l’un des deux modèles (figure 2.d). Pour ce faire, on a recours au test d’Hausman qui, lorsque significatif, signale qu’il est préférable d’utiliser un modèle à FE. Il est à noter que ce modèle est généralement approprié quand l’échantillon utilisé est exhaustif par rapport à la population représentée (Bouayad-Agha et al., 2018), particulièrement dans le cas de données spatiales où l’ensemble des entités spatiales forme la population totale d’une région donnée (Huang et Chand, 2015 ; Parajuli et Haynes, 2017 ; Qian et Zhao, 2018). C’est le cas ici puisque les N secteurs de recensement représentent la population de l’ensemble de la RMR de Montréal ; on s’attend ainsi à obtenir un modèle non spatial à FE.

FIGURE 2

**Arbre décisionnel pour le choix du modèle panel non spatial**

Les modèles par panel spatiaux

Dépendance spatiale et matrices de pondération spatiale

Dans un modèle, les résidus sont la différence entre la valeur observée ( y_i) et la valeur prédite ( ŷ_i). Parmi les conditions d’application bien connues d’une régression, il faut que les résidus soient normalement distribués, homoscédastiques et indépendants entre eux. Appliquée à une régression sur des données spatiales, cette dernière condition nécessite alors que les résidus soient distribués aléatoirement dans l’espace : si les résidus sont autocorrélés spatialement (positivement ou négativement), il y a alors un problème de dépendance spatiale du modèle, qui fait que les coefficients obtenus sont biaisés (Lesage et Pace, 2009). Si le modèle est bien spécifié – c’est-à-dire qu’on n’a pas omis une variable importante qui permettrait de corriger le problème d’autocorrélation spatiale des résidus –, Dubé et Legros (2014b : 119-131) démontrent clairement que plusieurs raisons peuvent justifier l’utilisation d’une régression spatiale : la présence d’externalités, d’effets d’entraînement (spillover effects), d’hétérogénéité spatiale, d’effets mixtes. Pour pallier la dépendance spatiale, on peut alors introduire une structure spatiale dans le modèle avec des variables spatialement décalées construites à partir d’une matrice de pondération spatiale.

Ces matrices de pondération spatiale sont bien connues et largement utilisées en géographie, notamment pour calculer les indices d’autocorrélation spatiale (le I de Moran, entre autres). Pour une description détaillée de ces matrices, on pourra notamment consulter Dubé et Legros (2014a : 41-68) et Dubin (2008). Une matrice de pondération spatiale W (N x N, avec N étant le nombre d’entités spatiales) résume les relations que partagent des entités spatiales entre elles (Dubin, 2008), et ce, selon la contiguïté, l’interaction, le nombre de plus proches voisins ou la distance. Les valeurs d’une matrice de contiguïté et de voisinage sont binaires, avec : W_ij est égal à 1 lorsque i et j sont adjacents selon le partage d’une frontière commune (queen contiguity) ou d’un noeud (rook contiguity) ou lorsque j est le plus proche voisin de i ; et W_ij = 0 lorsque ce n’est pas le cas. Ces matrices de contiguïté sont particulièrement bien adaptées pour des entités spatiales de forme et de taille identiques comme les pixels d’une image satellitaire. Si ce n’est pas le cas, l’interaction entre deux polygones adjacents varie en fonction de la longueur de la frontière commune (l_ij) et la distance séparant leurs centroïdes (d_ij) (Can, 1996) :

Quant aux matrices de proximité, elles sont le plus souvent basées sur l’inverse de la distance (1/d_ij) ou l’inverse de la distance au carré (1/d_ij²). Il est à noter que ces matrices sont habituellement standardisées en ligne : la somme de chaque ligne est alors égale à 1 et la somme de l’ensemble de la matrice est égale au nombre d’observations (N), ce qui permet de comparer des matrices entre elles. Afin de neutraliser la dépendance spatiale du modèle – nous le verrons plus en détail dans la section suivante –, on peut multiplier la matrice de pondération spatiale W standardisée en ligne avec soit la variable dépendante (Y), soit les variables indépendantes (X) pour créer une variable dépendante ou des variables indépendantes spatialement décalées (WY, WX). Cette opération peut aussi s’appliquer sur le terme d’erreur (Wu). Tel que souligné par Plummer (2009), le choix du type de matrice de pondération est un objet de débat en soi puisque celle-ci fait varier les résultats du modèle estimé. Dans le cadre de cette étude, bien que le choix d’une matrice d’interaction eût été plus judicieux (SR de taille et de forme différentes), nous avons recours à une matrice de contiguïté selon le partage d’une frontière commune d’ordre 1 (Queen) qui est plus largement utilisée. Nous n’avons pas retenu des matrices de distance ou de plus proches voisins pour deux raisons : les SR sont de taille très variable ; les SR proches les uns des autres ne communiquent pas nécessairement (exemple : cours d’eau les séparant, notamment entre Montréal et Laval et les couronnes nord et sud).

Formulation des différents modèles spatiaux par panel

Bien que les effets individuels inclus dans le modèle de l’équation 1 puissent neutraliser une partie de l’hétérogénéité spatiale (en captant les spécificités non observées des unités spatiales), il est possible que ce modèle ne soit pas encore assez spécifié (Burnett et al., 2013 ; Parajuli et Haynes, 2017). En effet, les modèles classiques présentés dans la section précédente supposent l’indépendance des individus entre eux, une hypothèse non vérifiée en cas de dépendance spatiale (Bouayad-Agha et al., 2018 ; Qian et Zhao, 2018). Comme pour les modèles spatiaux autorégressifs sur données transversales (Anselin, 1988), il est alors possible d’introduire l’autocorrélation spatiale au niveau de la variable dépendante, des variables indépendantes, du terme d’erreur, ou encore une combinaison de ces effets. Tel que signalé par Huang et Xia (2016), le modèle le plus spécifique est alors :

où w_ij est le poids associé à j pour i selon une matrice de voisinage ou de proximité W telle que définie précédemment. Ainsi, λ et ρ sont respectivement les coefficients pour la variable dépendante et le terme d’erreur spatialement décalés. Quant à θ, il représente le vecteur des coefficients des variables indépendantes spatialement décalées.

Elhorst (2014 : 9) définit alors une famille de sept modèles spatiaux selon l’inclusion de certains termes de dépendance, représentée à la figure 3. Comme Kopczewska et al. (2017), on peut être tenté de prendre le modèle le plus spécifique comme point de départ, soit celui incluant tous les termes de dépendance dans l’équation 3 (au niveau de la variable dépendante, λWy, des variables indépendantes, WXθ, et du terme d’erreur, ρWu) (figure 3.a). Par contre, Elhorst (2010) signale que ce modèle a tendance à être surspécifié, c’est-à-dire que l’inclusion des trois termes simultanément ne permet pas toujours de bien distinguer l’effet particulier de chaque terme de dépendance. En effet, un tel modèle pourrait présenter de la multicolinéarité due au fait qu’en présence d’autant de termes de dépendances spatiales, Y_i est en partie expliquée par la variable dépendante du voisinage Y_j qui dépend elle-même de tous les déterminants d’Y_i, soit Y_i dans WY, X_i dans WX et u_i dans Wu. Surviennent alors des biais dans les estimations des effets précis de chaque type de dépendance. Par conséquent, il convient de débuter avec un modèle à seulement deux termes de dépendance spatiale (figure 3.b, c ou d). Le spatial Durbin panel data model (SDPDM – figure 3.c) apparaît comme meilleur point de départ puisqu’il inclut les dépendances spatiales des variables dépendante et indépendantes et ne peut donc pas souffrir de biais de variable omise, en plus de pouvoir être simplifié à tous les autres modèles (figure 3.e à h) (Elhorst, 2010). Ainsi, en se basant sur la routine méthodologique proposée par Elhorst (2012) et sur d’autres travaux (Burnett et al., 2013 ; Yu et al., 2013 ; Liu et al., 2016 ; Parajuli et Haynes, 2017 ; Ge et al., 2018), parmi ces sept modèles spatiaux, on considère habituellement trois modèles principaux qui représentent le mieux les données à l’étude :

le spatial lag panel data model (SLPDM) avec l’introduction de l’autocorrélation spatiale uniquement au niveau de la variable dépendante (λWy, figure 3.e) ;
le spatial error panel data model (SEPDM) avec l’introduction de l’autocorrélation spatiale uniquement au niveau du terme d’erreur (ρWu, figure 3.g) ;
le spatial Durbin panel data model (SDPDM) avec l’introduction de l’autocorrélation spatiale à la fois pour les variables dépendante et indépendantes (λWy et WXθ, figure 3.c).

FIGURE 3

**Dérivations des différents modèles économétriques spatiaux par panel**

Sélection du modèle spatial par panel le plus approprié

Afin de sélectionner le modèle spatial le plus approprié (SLPDM, SEPDM ou SDPDM), Elhorst (2012) propose une démarche schématisée à la figure 4 et largement utilisée dans des études empiriques récentes (Burnett et al., 2013 ; Tong et al., 2013 ; Ge et al., 2018 ; Qian et Zhao, 2018). À la première étape, les tests LM permettent de vérifier si l’on rejette l’absence de dépendance spatiale au niveau de la variable dépendante (LM-lag) et l’absence de dépendance spatiale au niveau de l’erreur (LM-error). D’emblée, si aucun des tests LM n’est significatif, on retiendra le modèle non spatial comme modèle final (figure 4.a). Par contre, si un seul des deux tests LM est significatif, on calcule la version robuste du même test (RLM-lag à l’étape 2.i ou RLM-error en 2.ii) qui, lorsque significatif, nous fera retenir soit le SLPDM (figure 4.b), soit le SEPDM (figure 4.c).

En revanche, toujours à l’étape 2.i ou 2.ii, si le test robuste est non significatif, on estime alors les trois modèles (SEPDM, SLPDM, SDPDM ; étape 3). Par ailleurs, si les deux tests LM sont significatifs à l’étape 1, on calcule les deux tests RLM à l’étape 2.iii. S’ils sont tous deux significatifs, on conserve le SDPDM comme modèle spatial final (figure 4.d). Cependant, si aucun ou un seul test RLM est significatif à l’étape 2.iii, on passe aussi à l’étape 3 où, une fois les trois modèles créés, on a recours aux tests LR pour vérifier si le SDPDM peut être réduit au SLPDM () ou au SEPDM (). Si les résultats des tests LR et LM sont cohérents et identifient un même modèle, c’est-à-dire qu’on rejette LM-lag (LM-error) et qu’on ne rejette pas (), on choisit le SLPDM (SEPDM). Si l’on ne rejette ni ni ou qu’on rejette les deux hypothèses, ou encore si les résultats des tests LR et LM sont contradictoires (c.-à-d. qu’ils identifient chacun un modèle différent), alors on garde le SDPDM (figure 4.d). Cette logique de conserver le SDPDM en cas d’incertitude vient du fait qu’il peut être décomposé comme une somme pondérée des SLPDM et SEPDM lorsqu’on n’a pas la certitude qu’un seul de ces deux modèles représente mieux les données (Lesage et Pace, 2009 : 30-31). Il est ainsi le modèle le plus inclusif (Elhorst, 2012) et ne peut pas être biaisé en raison de l’omission de Wy ou WX dans l’un des deux autres modèles (Lesage, 2014). Finalement, une fois le bon modèle spatial déterminé entre SEPDM, SLPDM et SDPDM, nous pourrons vérifier si les effets individuels et/ou temporels inclus sont bien de nature fixe ou aléatoire, à l’aide du test de Hausman appliqué aux modèles spatiaux (Elhorst, 2009 ; Bouayad-Agha et al., 2018).

FIGURE 4

**Arbre décisionnel pour le choix du modèle de régression spatial par panel**

Évaluation des impacts directs et indirects

Dans le cas des modèles spatiaux avec dépendance dans les variables dépendante (Wy) ou indépendantes (WX), il ne faut pas se limiter à la lecture du coefficient d’une variable indépendante pour analyser son effet sur la variable dépendante (Bivand et al., 2013 : 308 ; Elhorst, 2014 : 20). Pour ces modèles, Elhorst (2012) décompose la variation totale de la valeur espérée de la variable dépendante au temps t due à la variation de la k-ième variable indépendante comme suit :

où w_ij, W et λ sont tels que définis plus haut, I_N est la matrice identité de dimension N et θ_k est le coefficient de la variable indépendante k spatialement décalée (WX_k).

Ainsi, en présence de dépendance spatiale au niveau des variables (θ_k ≠ 0 et/ou λ ≠ 0), la variation de x_it , k cause non seulement une variation locale de y_it (impact direct), mais aussi une variation dans l’ensemble des autres localisations y_jt (impact indirect ou effet de débordement) (Elhorst, 2014 : 21). À juste titre, Elhorst (2012) souligne que la matrice à droite dans l’équation 4 est indépendante de t et donc que les calculs d’impacts définis pour des données uniquement transversales par Lesage et Pace (2009) sont valides dans le cas panels avec poids w_ij constants dans le temps. Pour simplifier la présentation des résultats, Lesage et Pace (2009 : 36-37) calculent l’impact direct comme la moyenne des éléments diagonaux de la matrice à droite dans l’équation 4 et l’impact indirect comme la moyenne des sommes par rangées (ou colonnes) des éléments non diagonaux de cette même matrice. Elhorst (2014 : 23) définit l’effet de renvoi (feedback effect) comme l’impact supplémentaire en i dû à un premier changement en i. Plus précisément, il est possible qu’une variation de x_it , k cause une première variation de y_it, puis une autre variation de y_jt pour i et j voisins (si θ_k ≠ 0) qui, à son tour, génère une seconde variation de y_it (si λ ≠ 0). Ainsi, l’analyse des impacts directs et indirects contient plus d’informations sur la variation de Y due à celle de X_k que le simple coefficient β_k (Kopczewska et al., 2017). C’est d’ailleurs l’une des forces de l’économétrie spatiale d’arriver à définir et distinguer ces impacts (Lesage et Pace, 2009 : 33).

Les résultats : application empirique des modèles spatiaux par panel

Avant d’analyser les résultats, il convient de signaler l’absence de multicolinéarité excessive entre les variables indépendantes introduites dans les différents modèles. En effet, les valeurs du facteur d’inflation de la variance (VIF), non reportées ici, sont toutes inférieures à 5 (valeur maximale de 2,10), soit le seuil habituellement retenu par plusieurs auteurs (Chatterjee et Hadi, 2015 ; Studenmund et Cassidy, 2016). Aussi, la mise en oeuvre des modèles a été réalisée dans R (R Core Team, 2017) avec les paquets plm (Croissant et Millo, 2008) et splm (Millo et Piras, 2012), respectivement pour les modèles panel standards et spatiaux.

Détermination du modèle le mieux adapté aux données

Tel que décrit dans la section méthodologique et illustré à la figure 2, avant de mettre en oeuvre les modèles spatiaux, il convient de déterminer quel est le modèle standard par panel optimal. Pour ce faire, on vérifie s’il y a présence d’effets temporels, individuels ou mixtes à partir des tests LM (pour les RE) et des statistiques F (pour les FE). À la lecture des valeurs reportées au tableau 2, comme on rejette l’absence d’effets mixtes dans les deux cas, on en conclut qu’il est préférable d’utiliser les modèles FE et RE avec des effets temporels et individuels plutôt qu’un modèle groupé. Par la suite, la valeur du test d’Hausman ( = 1 201 ; p<0,001) permet de conclure qu’il est préférable de retenir un modèle à effets fixes (FE) mixtes.

TABLEAU 2

**Tests pour déterminer les types d’effets présents dans le modèle**

On peut maintenant s’attarder à la détermination des termes de dépendance spatiale à inclure dans le modèle. Suivant l’approche méthodologique illustrée à la figure 4, nous effectuons les tests LM et RLM sur les résidus du modèle standard par panel à FE mixtes. Les deux tests LM sont significatifs (LM-error = 26,527, p<0,001 ; LM-lag = 45,078, p<0,001) alors que seule la dépendance au niveau de la variable dépendante est détectée par les tests robustes (RLM-error = 0,567, p = 0,452 ; RLM-lag = 19,118, p<0,001). On calcule donc les trois modèles spatiaux (SEPDM, SLPDM et SDDPM), dont les résultats sont présentés au tableau 3 avec ceux du modèle standard FE mixtes à des fins de comparaison. On effectue ensuite les tests de LR pour vérifier si le SDPDM peut être réduit à un SLPDM ou à un SEPDM. Ces deux hypothèses sont rejetées à un seuil inférieur à 0,1 % : nous conservons donc le SDPDM comme modèle spatial. Finalement, la statistique d’Hausman spatiale ( = 1 771 ; p<0,001) nous amène encore une fois à préférer les FE aux RE. Le modèle final spatial le plus approprié à nos données est donc le SDPDM à FE mixtes, soit le quatrième modèle dans le tableau 3. Le SDPDM ressort d’ailleurs comme le modèle le plus explicatif par comparaison des valeurs de R² et pseudo-R².

Comparons les résultats des différents modèles (tableau 3). D’abord, quand on considère le modèle non spatial, on remarque que tous les coefficients des variables indépendantes sont en absolu plus élevés que ceux des trois modèles spatiaux. On peut y voir qu’une partie de la dépendance spatiale non modélisée par le premier modèle est alors distribuée dans les β_k, qui sont alors surestimés. Pour ce qui est des variables muettes pour les années, les effets estimés sont très similaires entre le modèle non spatial et le SEPDM. Ils sont dans la plupart des cas plus élevés que ce qui est observé pour les SLPDM et SDPDM. Encore une fois, on peut penser que cette dissolution des effets fixes temporels est liée à l’ajout de termes de dépendance spatiale dans ces deux modèles : Wy pour le SLPDM, Wy et WX pour le SDPDM. Ainsi, contrôler les dépendances spatiales permet de mieux estimer les effets des variables d’intérêt. Dans notre meilleur modèle (SDPDM), toutes les années sauf 2016 présentent des coefficients positifs significatifs comparativement à l’année de référence (1986). En guise d’exemple, en 1996 et 2001, l’effet apparaît plus marqué, toutes choses étant égales par ailleurs, avec une hausse de 5,8 % du faible revenu par rapport à 1986. Pour ce qui est du paramètre spatial λ, son estimateur très significatif signale qu’une augmentation d’un point de pourcentage du faible revenu dans le voisinage d’un secteur de recensement fait augmenter de 0,326 le pourcentage de personnes à faible revenu dans ce même SR. Nous n’analysons pas ici les valeurs des coefficients des variables indépendantes du SDPDM, qui ne représentent pas leur influence réelle sur le faible revenu (Parajuli et Haynes, 2017 ; Ge et al., 2018). Nous nous concentrons plutôt sur leurs impacts, dans la section suivante.

Analyse des impacts

Les résultats des simulations des impacts sont présentés au tableau 4. Rappelons que, pour notre modèle, l’impact direct (local) d’une variable indépendante (le chômage, par exemple) est le changement qu’elle occasionne sur le pourcentage de personnes à faible revenu dans le secteur de recensement, alors que son impact indirect (effet de débordement) est le changement qu’elle cause dans l’ensemble des autres SR. Aussi, l’impact total est-il la somme des deux impacts et représente le changement moyen de faible revenu induit par cette variable indépendante dans toute la RMR.

TABLEAU 3

**Résultats pour les modèles non spatial et spatiaux**

Pour les impacts totaux, le chômage est de loin la variable la plus importante (0,842 ; p<0,001), suivi par l’immigration récente (0,317; p<0,001) et la faible scolarité (0,295 p<0,001) qui sont très similaires. Par la suite, on distingue deux groupes de variables en fonction des impacts. Premièrement, le chômage est la seule variable à avoir à la fois des impacts direct, indirect et total hautement significatifs. Son impact direct est déjà le plus élevé et significatif (0,405 ; p<0,001), mais son impact indirect est encore plus important (0,436 ; p<0,001) et vient donc plus que doubler l’impact total par rapport au coefficient du SDPDM (0,384 ; p<0,001). Ainsi, quand le chômage augmente dans un secteur, le faible revenu local est fortement affecté, mais cet impact se répercute aussi dans les secteurs voisins et crée un effet de débordement dans l’ensemble de la région.

Deuxièmement, les pourcentages d’immigrants récents, de personnes faiblement scolarisées et de familles monoparentales ont tous des impacts directs et totaux positifs et hautement significatifs, alors que leurs impacts indirects sont faibles et non significatifs. Concrètement, on peut y voir que ces variables indépendantes ont un fort impact local sur le faible revenu, puis que cette première variation se répercute dans le faible revenu des voisins par le terme Wy hautement positif et significatif. Le même constat s’applique aussi au pourcentage de personnes âgées, mais dans une moindre mesure puisque les impacts sont plus faibles et moins significatifs. Notons que l’immigration récente voit son impact total réduit par rapport à son impact direct. Cela est dû à son impact indirect négatif non significatif quand il est considéré seul, mais qui amoindrit l’impact total quand il est évalué conjointement avec l’impact direct.

Aussi, on mesure l’effet de renvoi d’une variable comme la différence entre son impact direct (tableau 4) et son coefficient estimé avec le SDPDM (tableau 3). L’effet de renvoi le plus important est celui du chômage. S’il augmente localement de 10 points de pourcentage dans un secteur, le faible revenu y augmente initialement de 3,84 points de pourcentage (coefficient au tableau 3), toutes choses étant égales par ailleurs. Puis, les effets de débordement engendrent des augmentations du faible revenu dans le voisinage (impact indirect) qui débordent en retour sur le secteur initial. Finalement, on observe dans le secteur initial une hausse de 4,05 points de pourcentage du faible revenu, attribuable à l’augmentation du chômage (impact direct). Ainsi, l’effet de renvoi du chômage est de 0,021 point de pourcentage (0,405-0,384), soit 5,2 % de l’impact direct dans un secteur donné.

En résumé, le recours aux différents types d’impacts nous permet d’appréhender des réalités qu’on n’aurait pas pu déceler en se basant uniquement sur les résultats du SDPDM. L’identification de ces deux groupes de variables qui ont des effets différents démontre l’intérêt de recourir à l’analyse des coefficients des impacts (directs, indirects et totaux) comparativement à ceux du modèle SDPDM uniquement.

Discussion

Apports des modèles spatiaux par panel

Les méthodes de détermination de modèles proposées dans cet article offrent une approche systématique de sélection permettant aux chercheurs de mieux spécifier leur modèle parmi un vaste ensemble de modèles spatiaux sur données de panel. Dans les paragraphes précédents, nous avons présenté les plus importantes spécificités en termes d’effets et de dépendances spatiales. Rappelons aussi que ces modèles sont relativement faciles à mettre en oeuvre dans R (R Core Team, 2017) avec les paquets plm (Croissant et Millo, 2008) et splm (Millo et Piras, 2012). Pour plus de détail, le lecteur pourra télécharger le jeu de données utilisé pour cet article ainsi que le code documenté à l’adresse suivante : http://laeq.ucs.inrs.ca/wp-content/uploads/2020/03/Spanel.zip

L’application au cas de la pauvreté à Montréal de 1986 à 2016 nous a permis de comprendre l’importance de contrôler les effets de la dépendance spatiale dans les estimations des modèles sur données de panel. Toutefois, force est d’admettre que l’approche méthodologique de détermination du modèle proposée dans cet article reste générale, alors que plusieurs autres spécificités n’y sont pas directement abordées. D’abord, considérer uniquement les trois modèles (SLPDM, SEPDM, SDPDM) parmi les sept présentés à la figure 3 fait l’objet de débats à l’heure actuelle. Selon Lesage (2014), puisqu’il est impossible de trancher avec certitude entre un SLPDM ou un SEPDM, on devrait toujours retenir un modèle Durbin. Il faudrait alors seulement choisir entre le SDEPDM (figure 3.d) et le SDPDM (figure 3.c), le premier modèle prévalant si l’on soupçonne la présence d’effets de débordement locaux (entre voisins proches), et le second si les débordements attendus sont globaux et s’étendent à tout le territoire.

TABLEAU 4

**Résultats des simulations des impacts pour le SDPDM**

Quatre autres éléments spécifiques devraient aussi être considérés pour mieux adapter et étendre les modèles présentés aux besoins spécifiques des chercheurs, soit la méthode d’estimation, la dimension spatiale, la temporalité et les effets dynamiques. La méthode d’estimation reste un aspect important à évaluer pour adapter les modèles présentés à des contextes spécifiques. Nous avons appuyé notre approche sur les estimateurs par le maximum de vraisemblance, mais il est possible d’estimer ces modèles par la méthode des moments généralisée (MMG), elle aussi facile à mettre en oeuvre dans R. Un aspect à considérer dans le choix entre ces deux estimateurs touche les hypothèses de normalité des résidus. Comme le soulignent Bouayad et al. (2018), les estimateurs par le maximum de vraisemblance sont généralement plus efficaces, mais reposent sur des conditions plus fortes quant à la distribution du terme d’erreurs. De fait, la MMG sera généralement privilégiée en présence d’hétéroscédasticité — cette dernière ne reposant pas sur l’hypothèse de normalité et offrant des estimateurs plus robustes dans ce contexte. L’utilisation de modèles bayésiens est également possible (Lesage, 2014).

Un second aspect qui devrait être considéré touche la nature des relations spatiales entre les entités étudiées et le choix de la matrice de pondération spatiale. Nous avons utilisé ici une matrice de contiguïté selon le partage d’une frontière commune de premier ordre. Il faut garder en tête que d’autres applications pourraient être mieux servies par des matrices de distance, de plus proches voisins ou d’interaction. Il est important de bien évaluer le type de données et la nature des effets de dépendances spatiales attendues lorsque ce choix est fait, étant donné que le choix du type de matrice de pondération fait varier les résultats du modèle estimé.

En outre, la temporalité est une composante fondamentale de l’hétérogénéité captée par les modèles en panel. Bien qu’on puisse vouloir se limiter à évacuer les effets conjoncturels de nos estimations, il semble important de se questionner sur la nature des dynamiques temporelles en jeu, notamment la présence d’effets de rétroaction ou d’autocorrélation temporelle. Ces derniers sont d’autant plus importants dans un contexte spatial, où les interactions entre entités voisines peuvent être dynamiques au fil du temps. Comme le mentionnent Kopczewska et al. (2017), certaines décisions doivent ultimement être prises concernant la dimension temporelle. Outre les retards spatiaux, les modèles peuvent inclure des retards temporels et spatiotemporels d’une variable dépendante et indépendante. Les phénomènes géographiques étant souvent persistants dans le temps et dans l’espace, il est crucial de séparer ces persistances de la variabilité actuelle due à d’autres facteurs (Elhorst, 2012). Afin d’intégrer ces effets, plusieurs extensions ont été plus récemment proposées aux modèles d’économétrie spatiale sur données de panel. Bouayad-Agha et al. (2018) mentionnent les modèles dynamiques spatiaux puisque « les valeurs pour une observation i à une période de temps t peuvent dépendre des valeurs prises par les observations voisines de i à la période précédente ». Ils mentionnent aussi les modèles multidimensionnels spatiaux qui traitent de données groupées ou hiérarchisées, ainsi que les modèles à facteurs communs qui permettent plus de flexibilité dans les interactions entre les unités dans le temps et l’espace.

Limites relatives à l’utilisation des modèles spatiaux par panel sur des données agrégées spatialement

Comme pour toute autre analyse statistique réalisée sur des données agrégées spatialement, l’échelle d’analyse et le découpage des entités spatiales génèrent des biais potentiels (modifiable areal unit problem [MAUP]) (Openshaw, 1977 ; Wong et Amrhein, 1996) dans les résultats des modèles spatiaux par panel. Concernant l’échelle d’analyse, il est bien connu que plus les unités spatiales sont grandes, moins la variation est importante (Jelinski et Wu, 1996) et donc plus la capacité à mesurer l’hétérogénéité sociale des milieux est réduite. Rappelons que les analyses ont été réalisées à partir de données au niveau de secteurs de recensement, de 1986 à 2016. Il aurait été très difficile de recourir à une échelle d’analyse plus fine telle que les aires de diffusion (AD), regroupant habituellement entre 400 et 700 habitants. En effet, les AD ont été créées en 2001 pour remplacer les secteurs de dénombrement (SD). Il en résulte que la création de fichiers de correspondance entre les AD et les SD pour sept années de recensement est beaucoup plus complexe et chronophage.

Concernant le problème de découpage, parmi les règles utilisées pour les délimiter, les SR doivent comprendre entre 2 500 et 10 000 habitants et doivent être le plus homogènes possible sur le plan socioéconomique (Statistique Canada, 2018). Or, nous avons agrégé certains SR adjacents afin d’obtenir le même nombre de SR pour les sept années de recensement. Cela cause deux biais potentiels. Premièrement, il est possible que ces secteurs agrégés ne soient plus si homogènes sur le plan socioéconomique pour les sept années de recensement. Deuxièmement, les effectifs de population de secteurs agrégés risquent de dépasser largement le seuil de 10 000 habitants. Pour y remédier, il conviendrait alors de construire des modèles de régression par panel en pondérant chaque entité spatiale par la population qu’elle comprend pour les différentes années de recensement.

Limites relatives à la formulation des modèles présentés

Il convient aussi de signaler que la dimension spatiotemporelle a été peu explorée dans les modèles présentés, notamment le modèle final (SDPDM, tableau 3). Par exemple, il est fort probable que l’effet du chômage (Chomag) et de sa variable spatialement décalée (W_Chomag) varie à travers le temps, et ce, d’autant plus que notre jeu de données couvre une période de 30 ans (1986 à 2016). Par conséquent, il est possible de bonifier le modèle SDPDM en ajoutant des interactions entre les années de recensement et respectivement chacune des variables indépendantes et de leurs versions spatiales décalées (par exemple, AN x Chomag et AN x WChomag). Cela a toutefois comme corolaire d’ajouter un nombre important de coefficients et de générer possiblement des problèmes de multicolinéarité excessive.

Afin d’explorer la dimension spatiotemporelle, nous proposons un exercice très simple : nous avons construit six nouveaux modèles – un pour chaque variable indépendante – dans lesquels nous avons ajouté, dans le modèle SDPDM final, une interaction entre la variable indépendante et l’année. Les résultats de ces interactions sont présentés graphiquement à la figure 5. Prenons l’exemple de la variable immigrants récents (figure 5.a). En 1986 (année de référence), son effet est de 0,294 (P<0,001). La taille de cet effet reste relativement similaire pour les années 1991 à 2006 (les coefficients obtenus n’étant pas significativement différents au seuil de 5 %), tandis qu’à partir de 2006, son effet diminue significativement. Ce constat s’applique aussi pour le pourcentage de personnes faiblement scolarisées (figure 5.b). Cela signifie que les pourcentages d’immigrants récents et de personnes faiblement scolarisées sont de moins en moins importants dans la prédiction du pourcentage de personnes à faible revenu à partir de 2006. Inversement, l’effet du pourcentage de personnes âgées de 65 ans et plus ne cesse d’augmenter d’année en année.

FIGURE 5

**Exploration des effets spatiotemporels des variables indépendantes**

Conclusion

Cet article contribue à la littérature émergente en géographie portant sur les méthodes d’économétrie spatiale sur données de panel. En appliquant cette méthode au cas de la pauvreté urbaine dans la région métropolitaine de Montréal, entre 1986 et 2016, nous obtenons des résultats qui soulignent le potentiel des données de panel pour l’élaboration de diagnostics urbains longitudinaux. Spécifiquement, nous proposons, dans cet article, une méthode générale de détermination et de sélection permettant aux chercheurs de mieux spécifier leur modèle parmi un vaste ensemble de modèles récemment développés. Si les avantages des données de panel relativement aux données en coupe transversale sont aujourd’hui bien connus, notamment le contrôle des effets conjoncturels et locaux inobservés et des estimations plus précises, ces derniers sont tout aussi nécessaires dans le contexte des modèles spatiaux.

De fait, les recherches futures en géographie pourraient fortement bénéficier des méthodes d’économétrie spatiale sur données de panel, alors que de nombreuses sources de données utilisées par les géographes – dont les données de recensement – se présentent sous forme de panel avec certaines entités statistiques (régions, villes, quartiers) répétées au fil du temps. En outre, la disponibilité et le développement accéléré de nouveaux paquets dans R permettront aux chercheurs d’appliquer les modèles présentés dans cet article à un vaste ensemble de problématiques et d’être mieux préparés aux développements accélérés des nouvelles méthodes dans ce domaine foisonnant. Ces méthodes pourraient être utilisées pour poser des diagnostics d’équité environnementale longitudinaux, notamment pour analyser la distribution de la végétation, ou encore de nuisances urbaines (pollution de l’air, bruit environnemental, etc.) sur plusieurs années. Également, cela ouvre la voie au développement de nouvelles méthodes qui permettront de poser des diagnostics intra-urbains longitudinaux, comme les méthodes de régression géographiquement pondérée par panel.

Résumé

Abstract

Resumen

Introduction

Territoire d’étude, unités spatiales et variables retenues

Un bref retour sur les modèles par panel standards (non spatiaux)

Les différents types de modèles par panel

Identification de la présence et de la nature des effets dans les modèles par panel

Les modèles par panel spatiaux

Dépendance spatiale et matrices de pondération spatiale

Formulation des différents modèles spatiaux par panel

Sélection du modèle spatial par panel le plus approprié

Évaluation des impacts directs et indirects

Les résultats : application empirique des modèles spatiaux par panel

Détermination du modèle le mieux adapté aux données

Analyse des impacts

Discussion

Apports des modèles spatiaux par panel

Limites relatives à l’utilisation des modèles spatiaux par panel sur des données agrégées spatialement

Limites relatives à la formulation des modèles présentés

Conclusion

Remerciements

Note

Bibliographie

Liste des figures

Liste des tableaux

Résumés

Résumé

Abstract

Resumen

Corps de l’article

Introduction

Territoire d’étude, unités spatiales et variables retenues

Un bref retour sur les modèles par panel standards (non spatiaux)

Les différents types de modèles par panel

Identification de la présence et de la nature des effets dans les modèles par panel

Les modèles par panel spatiaux

Dépendance spatiale et matrices de pondération spatiale

Formulation des différents modèles spatiaux par panel

Sélection du modèle spatial par panel le plus approprié

Évaluation des impacts directs et indirects

Les résultats : application empirique des modèles spatiaux par panel

Détermination du modèle le mieux adapté aux données

Analyse des impacts

Discussion

Apports des modèles spatiaux par panel

Limites relatives à l’utilisation des modèles spatiaux par panel sur des données agrégées spatialement

Limites relatives à la formulation des modèles présentés

Conclusion

Parties annexes

Remerciements

Note

Bibliographie

Liste des figures

Liste des tableaux

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