Corps de l’article

1. Introduction

Depuis longtemps, les mathématiques et les sciences physiques ont entretenu des rapports privilégiés, que ce soit dans la constitution des savoirs savants ou dans leur enseignement. Néanmoins, ces rapports ont subi d’importantes mutations, qui ont marqué les pratiques d’enseignement dans les deux disciplines.

Comme l’a montré Artaud (1999), aux XVIIe et XVIIIe siècles, le découpage disciplinaire assurait l’existence de mathématiques dites “mixtes” englobant, entre autres, la mécanique, qui correspondaient à une réelle visibilité sociale des mathématiques. Selon ce découpage, les liens avec la physique étaient non seulement forts, mais dépassaient le simple recours utilitariste aux mathématiques par les autres disciplines, puisqu’il s’agissait « moins de mettre des mathématiques dans la physique que d’amener les questions de physique dans le champ des mathématiques » (Ibid., p. 26). Dans le courant des XIXe et XXe siècles, les mathématiques ont subi un phénomène “d’implicitation”, amplifié par un nouveau découpage en mathématiques pures et appliquées.

[…] là où les mathématiques mixtes partaient de questions non mathématiques pour les mathématiser, les mathématiques appliquées mettent en avant les théories mathématiques et ne font apparaître les questions auxquelles elles répondent qu’occasionnellement, en fin de parcours.

Ibid., p. 33

Dans la période des années 1970, caractérisée par le courant dit des “mathématiques modernes”, l’enseignement des mathématiques ne prenait quasiment pas en compte leurs liens avec les sciences physiques, alors que l’enseignement de ces dernières s’est fortement mathématisé.

Dans cette évolution tracée ici à grands traits, on voit que les rapports entre les enseignements de mathématiques et de sciences physiques ont abouti à une distanciation importante et à un rapport de hiérarchie peu favorable à une collaboration égalitaire. Depuis les années 1980, les réformes successives, qui s’inscrivent dans une réaction au radicalisme des mathématiques modernes, ont prôné un rapprochement des deux disciplines. Ce phénomène s’inscrit dans un mouvement général, d’une part, de la nécessité de redonner aux mathématiques une base “concrète” et utilitaire – partir de la contextualisation des savoirs mathématiques – et d’autre part, de lutter contre le repliement disciplinaire, pour la promotion de l’interdisciplinarité.

On trouve ainsi, dans divers textes officiels récents, des injonctions comme :

Dans cette perspective, l’enseignement des mathématiques est aussi à relier à celui des autres disciplines sous deux aspects principaux : étude des situations issues de ces disciplines ; organisation concertée des activités d’enseignement.

Ministère de l’Éducation nationale, 1990

D’une manière générale, l’introduction d’une notion par la théorie est vivement déconseillée. Il sera souvent fait appel à l’expérience scientifique de l’élève et aux problèmes des autres disciplines pour décloisonner l’enseignement des mathématiques.

Ministère de l’Éducation, 2006

Ou encore,

La conception des mathématiques comme une science pure, jeu autonome dans le monde des idées, est peut-être confortable pour quelques-uns. Mais cette conception gomme les interactions pourtant si fécondes, entre les mathématiques et les autres sciences. Plutôt que de se limiter à des voeux pieux, les programmes devront proposer des exemples précis d’applications des mathématiques.

Groupe de réflexion Inter-Associations en Mathématiques [GRIAM], 1998

Dans ces trois citations, on voit bien la volonté de faire sortir les mathématiques de leur tour d’ivoire en redécouvrant, entre autres, les vertus de leur application aux autres disciplines, dont la physique au premier titre, mais aussi, la difficulté (“voeux pieux”) à proposer dans les programmes de réelles activités conduisant à une pertinente modélisation mathématique.

D’autant que, dans le même temps, la noosphère[1] des sciences physiques, en réaction à “l’impérialisme” des mathématiques, a promu un enseignement qui met de l’avant le rôle de l’expérience et les aspects qualitatifs, parallèlement à moins de mathématisation.

L’hypothèse à la base de notre travail est que les changements de programmes, même importants, ne peuvent suffire à eux seuls à combattre le repliement disciplinaire. Non seulement un accompagnement au plan de la formation (initiale et continue) des enseignants des deux disciplines est nécessaire, mais aussi, et peut-être avant tout, il faut arriver à annihiler les effets pervers d’une culture installée de l’isolationnisme, qui conduit à refuser toute incursion de la problématique de l’autre discipline dans le pré carré de la sienne. C’est ce réseau de questions que nous avons abordé dans notre thèse[2], en nous centrant sur les concepts de vecteurs et de grandeurs physiques vectorielles d’une part et de translation et mouvement de translation d’autre part. Dans cet article, nous ne toucherons que le premier des deux thèmes et n’aborderons pas les aspects liés à la translation (Ba, 2007 et Ba et Dorier, 2007).

2. Aperçu de l’histoire de l’enseignement du vecteur

Même si l’on retrouve des traces du parallélogramme de forces dès l’antiquité, l’origine du vecteur est à chercher dans des périodes beaucoup plus récentes. La critique de Leibniz de la géométrie de Descartes (Crowe, 1967), qui prônait la recherche d’une caractéristique purement géométrique s’appliquant aux positions comme l’algèbre s’applique aux grandeurs, est restée lettre morte pendant plus d’un siècle. C’est vraiment avec l’interprétation géométrique des quantités imaginaires et le désir de généralisation à l’espace, que le concept de vecteur se fait jour dans le courant du XIXe siècle, à la croisée de l’algèbre et de la géométrie, puis dans les applications à la physique (Crowe, 1967 ; Flament,1997 et 2003). De même, les liens qui ont uni la genèse du calcul vectoriel et l’élaboration de l’algèbre linéaire sont aussi plus complexes et plus ténus qu’ils n’en ont l’air (Dorier, 1997).

Notre propos n’étant pas ici de retracer l’histoire des vecteurs, nous renvoyons le lecteur intéressé aux ouvrages cités ci-dessus. Nous nous intéressons plutôt à l’histoire de l’enseignement des vecteurs en France, depuis leur timide apparition dans les programmes des classes du secondaire à la fin du XIXe siècle jusqu’à nos jours. Au-delà de l’intérêt historique, nous voulons ainsi éclairer un domaine de l’éducation mathématique qui ne cesse de rétrécir au fur et à mesure des réformes récentes, et dont le lien avec l’enseignement de la physique, s’il paraît naturel aux deux parties, semble néanmoins ne pas pouvoir réellement servir d’appui efficace pour les enseignants de l’une et l’autre discipline.

Du point de vue théorique de l’analyse, nous nous situons dans une perspective écologique, c’est-à-dire que nous identifions l’évolution de l’habitat et des niches des vecteurs, selon les termes définis par Chevallard (1994) dans son approche de l’écologie didactique des savoirs :

Les écologistes distinguent, s’agissant d’un organisme, son habitat et sa niche. Pour le dire en un langage volontairement anthropomorphe, l’habitat, c’est en quelque sorte l’adresse, le lieu de résidence de l’organisme. La niche, ce sont les fonctions que l’organisme y remplit : c’est en quelque façon la profession qu’il y exerce.

Ibid., p. 142

À la suite de Chevallard, Artaud (1997) montre alors comment un objet émerge et peut vivre dans un écosystème didactique.

Pour qu’un objet O émerge dans un écosystème didactique, il est nécessaire qu’existe un milieu pour cet objet, c’est-à-dire un ensemble d’objets connus (au sens où il existe un rapport institutionnel non problématique) avec lesquels O viendra se mettre en interrelation. Cette condition est à mettre en rapport avec une condition citée plus haut, la loi du tout structuré, dont je rappelle l’énoncé : un objet mathématique ne peut exister seul ; il doit venir prendre place dans une organisation mathématique, organisation qu’il faut faire exister. La nécessité qu’existe un milieu dit alors que cette émergence d’une organisation mathématique ne peut se faire ex nihilo. Il faut prendre appui sur des organisations, mathématiques ou non mathématiques, déjà existantes.

Ibid., p. 124

L’analyse écologique permettra donc de mettre au jour un réseau de conditions et de contraintes qui vont déterminer la place que peut occuper l’objet vecteur et son évolution au cours des changements de programmes en prenant en compte le fonctionnement global des institutions scolaires où il intervient.

Dans ce qui suit, nous ne donnons qu’une synthèse de ces analyses sous la forme d’un tableau, dans lequel nous distinguons cinq grandes périodes de 1852 à nos jours (pour une analyse plus complète, voir Ba, 2007, Ba et Dorier, 2006 et Dorier, 2000).

Tableau 1

Tableau récapitulatif de l’enseignement du vecteur

Tableau récapitulatif de l’enseignement du vecteur

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De façon générale, il ressort de ces analyses que l’évolution des programmes n’a cessé de séparer les habitats physique et mathématique du vecteur, favorisant ainsi le cloisonnement disciplinaire. Depuis quelques années, on semble vouloir revenir à un lien plus étroit des vecteurs avec les forces ou les vitesses, mais cette injonction s’appuie-t-elle sur une base réaliste ?

De notre analyse historique de l’évolution de l’enseignement du vecteur, nous retiendrons trois points propres à éclairer la situation actuelle de l’enseignement des vecteurs et des liens possibles avec la physique :

  • Malgré le rejet de la réforme des mathématiques modernes, le modèle de l’algèbre linéaire, s’il a disparu officiellement des programmes du secondaire, continue de marquer l’organisation mathématique autour du vecteur. L’importance accordée à la multiplication par un scalaire en classe de seconde en atteste.

  • Par ailleurs, la niche “outil performant pour la géométrie” a elle aussi du mal à fonctionner (Le Thi Hoai, 1997 ; Bittar, 1998 ; Pressiat, 1999). Il est en effet difficile de trouver un problème de géométrie initialement posé sans vecteur, où la modélisation vectorielle contribue à simplifier sa résolution au point d’y faire apparaître l’outil vectoriel comme significativement performant. On a vu en effet, à travers l’évolution des programmes (et l’analyse historique le confirme) que l’habitat géométrique n’est pas si naturel qu’il y paraît pour les vecteurs. Pour une part importante, le vecteur géométrique est une création didactique qui a permis à un moment donné de résoudre un problème idéologique (enseigner dans le secondaire que ce qui prépare au supérieur : plaquer le modèle de l’espace euclidien normé pour l’introduction du vecteur au collège dans la perspective de l’enseignement de l’algèbre linéaire, et même plus loin de l’analyse fonctionnelle) et pratique dans l’organisation du savoir enseigné (Dorier, 2000).

  • Reste la niche “outil pour la physique”, mais elle paraît aussi difficile à faire vivre. En effet, peu de situations physiques sont utilisables en troisième ou même en seconde, dans lesquelles le formalisme vectoriel est vraiment pertinent.

Du point de vue de l’enseignement des sciences physiques, l’introduction du vecteur pour modéliser les grandeurs physiques est relativement récente et a fait l’objet de nombreux débats (Ba, 2007).

3. Éléments d’analyse institutionnelle

Dans ce paragraphe, nous donnons un aperçu partiel du rapport institutionnel actuel aux objets vecteurs et grandeurs physiques vectorielles en France et au Sénégal à la fin du collège et au début du lycée. Nous renvoyons le lecteur à Ba (2007) pour une étude détaillée.

En France, les références à la physique dans la partie des programmes de mathématiques sur les vecteurs ont quasiment disparu depuis 2000 après une brève apparition dans les années 1980-1990. Au Sénégal, il reste en seconde une courte allusion : « On montrera l’utilité de l’outil vectoriel dans d’autres disciplines ».

Par ailleurs, nous avons analysé sept manuels récents de mathématiques de troisième édités en France et six de seconde. Moins de la moitié (quatre de troisième et seulement deux de seconde) présentent une ou plusieurs situations illustrant les liens entre vecteurs et grandeurs physiques vectorielles, la plupart du temps, à une place secondaire, voire marginale, dans l’organisation des manuels. En effet, les quelques collections qui en proposent les renvoient de manière systématique en fin de chapitre sous forme d’exercices corrigés ou de travaux pratiques. Ainsi, il apparaît que le lien entre mathématiques et physique est peu abordé, et encore que de façon assez anecdotique. Examinons toutefois un exemple où ce lien est particulièrement mis en avant.

Dans le manuel de seconde de Lotz (Turner et Misset, 2004), dans le chapitre sur les vecteurs, on trouve, entre autres, l’exercice suivant :

Cet exercice s’apparente effectivement à des connaissances de physique, mais il est remarquable que la modélisation soit considérée comme totalement transparente. Dans le texte on parle de puissance des joueurs, sans la définir, ni dire par quoi elle est représentée. C’est à l’élève de comprendre que c’est dans le dessin, ce qui est représenté par un vecteur. Mais ceci a plus de chance de se faire par un jeu de contrat didactique que par une réflexion enrichissante de l’élève sur l’intérêt des vecteurs pour modéliser de telle situation. Reste ensuite à comprendre que l’on peut (on doit d’ailleurs) ramener les trois vecteurs en un même point (J1 est le meilleur candidat) et que répondre à la question posée revient à comparer forme: forme pleine grandeur à la somme forme: forme pleine grandeur. Cette tâche nécessite de faire graphiquement la somme de deux vecteurs, ce qui semble bien être le réel enjeu attendu des auteurs. Pourtant, la question de la comparaison aurait pu mener à des questionnements intéressants puisqu’en effet, il est plus difficile de comparer des vecteurs que des scalaires. Mais ici tout est court-circuité par le fait que les trois exemples éludent la question. En effet, dans les trois cas, la somme forme: forme pleine grandeur est toujours dans la même direction et de sens opposé par rapport à forme: forme pleine grandeur, ramenant la discussion à la comparaison de grandeurs scalaires positives (bien entendu, les trois exemples correspondent aux trois cas possibles !). Cet exercice est donc une parodie de modélisation, où le seul enjeu véritable, outre qu’il faut savoir décoder les attentes des auteurs, est de construire graphiquement la somme de deux vecteurs et de comparer des longueurs.

On voit donc que le lien entre mathématiques et physique à propos des vecteurs a beaucoup de difficultés à vivre dans les chapitres sur les vecteurs au lycée. Le rapport institutionnel au vecteur dans la classe de mathématiques ne laisse que peu d’espace pour des situations issues de la physique. Quand elles existent, celles-ci restent subordonnées à un rapport inadéquat à la modélisation et apparaissent comme un prétexte à faire faire des mathématiques ; tout ce qui relève de la modélisation étant considéré comme transparent et conduisant soit à des simplifications drastiques, soit à laisser comme seule possibilité à l’élève de deviner les attentes du professeur.

Ce constat peut paraître radical, mais il a aussi des causes profondes qui ne sont pas à mettre seulement sur le dos des auteurs de manuels. En effet, on voit bien que le décalage dans le temps entre les enseignements de mathématiques et de physique rend difficile la vie, dans la classe de mathématiques, de problèmes où un questionnement physique pourrait être à la source d’un réel travail de modélisation de la part des élèves conduisant à une utilisation problématisée des vecteurs. Ce décalage pourrait à la limite se régler par une modification curriculaire. Néanmoins, les situations physiques présentes dans les manuels de mathématiques sont peu réalistes du point de vue de la problématique physique. Ceci dépasse le simple aspect curriculaire et met bien en évidence un aspect plus pernicieux du cloisonnement disciplinaire.

Regardons à présent rapidement ce qu’il en est de l’enseignement de la physique. Les élèves apprennent à utiliser des représentations vectorielles pour les forces et les vitesses, en classe de seconde S au Sénégal et en première S en France. Dans les deux cas, ils ont déjà eu une pratique des vecteurs assez importante en classe de mathématiques. Comme pour les mathématiques, nous avons analysé les programmes et des manuels, mais nous ne pouvons rendre compte de nos analyses de façon détaillée ici.

Il ressort essentiellement de notre étude que les objets mathématiques ne sont traités que comme des outils. Les difficultés éventuelles des élèves avec les vecteurs sont ainsi mises sur le compte de déficiences de l’enseignement des mathématiques, sans qu’un questionnement propre à la nature des liens avec les objets physiques puisse être perçu comme un levier intéressant. À titre d’exemple, voici un extrait du manuel de Tomasino (2001) de première S. Ce court encadré, intitulé “point-méthode”, se présente comme un rappel de mathématiques et se trouve de fait totalement déconnecté de toute référence à la physique, même si les vecteurs sont notés avec la lettre F (comme force) et non v ou u, comme en mathématiques.

La méthode géométrique se présente comme une suite de règles d’actions avec un choix de vocabulaire volontairement très concret, comme si l’on voulait contrebalancer le langage hermétique des mathématiques. Tout ce qui est présenté ici fait normalement partie du bagage mathématique d’un élève de troisième, et est retravaillé en mathématiques en seconde. Les élèves connaissent également une autre méthode, dite règle du parallélogramme, pour calculer la somme de deux vecteurs, mais elle est totalement absente ici.

La méthode analytique est aussi connue des élèves depuis la classe de troisième en mathématiques. Le choix des notations est par contre particulier à l’enseignement de la physique et peut d’ailleurs rentrer en conflit avec l’habitude que les élèves peuvent avoir prise en mathématiques d’utiliser les indices 1 et 2 pour noter l’abscisse et l’ordonnée plutôt que les indices x et y.

Voici un autre exemple (encadré 2) issu du manuel de physique de première S de Parisi (Curie, Deville, Guêtré et Heinrich, 2005).

La première remarque est que l’énoncé est très prolixe en explications sur la situation matérielle. On peut noter ici la différence avec les pseudo-exercices de physique présents dans les manuels de mathématiques. En ce sens, le dessin est typique de ce qui se fait en physique, avec un mélange, sur une même représentation d’objets “réalistes” (comme ici le ressort ou le palet) et de signes purement abstraits, comme les axes de coordonnées ou les forces. Par ailleurs, on notera que les lettres surmontées d’une flèche sont tantôt appelées vecteurs, tantôt appelées forces, alors qu’au début du cours les auteurs font la distinction entre la force et le vecteur force. Ce glissement sémantique est classique et symptomatique du rôle attendu des mathématiques. Enfin, la détermination de la force forme: forme pleine grandeur est ramenée à un calcul numérique par la méthode imposée et détaillée pas à pas – à savoir projetée sur les axes –, alors qu’une caractérisation à l’aide de la trigonométrie aurait pu permettre une approche plus géométrique. En outre, si les connaissances et compétences mathématiques des élèves étaient prises en compte à la hauteur de ce qu’elles devraient être, les questions pourraient être moins nombreuses et la tâche plus ouverte, condition sine qua non pour faire vivre une interaction adéquate entre les deux disciplines.

4. Du côté des enseignants

Afin de mieux cerner les rapports des enseignants des deux disciplines aux objets en jeu dans notre travail et aux liens entre les deux disciplines, nous avons finalement mené une enquête à l’aide de deux questionnaires destinés aux enseignants de sciences physiques d’une part, et aux enseignants de mathématiques d’autre part. Pour des questions pratiques, nous avons recueilli des données essentiellement au Sénégal, mais nos enquêtes précédentes (Ba, 2003) nous permettent de faire des rapprochements avec la situation en France.

Nous ne détaillerons pas ici nos analyses. De façon synthétique, nous donnons ci-dessous les trois aspects qui nous en semblent les plus saillants. Nous illustrons d’extraits des réponses obtenues qui montrent, malgré leur caractère individuel, des aspects institutionnels des problèmes que nous avons pu repérer :

  1. Les enseignants avouent le plus souvent sans complexe ne pas connaître les programmes de l’autre discipline, voire retournent la question en disant que c’est à l’enseignant de l’autre discipline de connaître celui de la sienne.

  1. Les collaborations entre enseignants des deux disciplines existent, sont même fréquentes, mais se cantonnent essentiellement à parler des élèves, à faire des ajustements curriculaires : ce n’est que très rarement qu’on y parle de contenu. Si les enseignants ont conscience qu’il y a un dysfonctionnement entre l’enseignement des deux disciplines, ils croient que sa source est essentiellement liée à des carences des élèves, ou des causes institutionnelles locales (mauvais ajustements curriculaires). Ils ne se rendent pas compte à quel point leur propre représentation de leur discipline et de ses liens avec l’autre peut être une barrière encore plus forte.

  1. Beaucoup d’enseignants de physique considèrent que le vecteur est un concept mathématique et que les difficultés des élèves avec les forces viennent avant tout de leurs carences en mathématiques. Les enseignants de mathématiques, eux, font le plus souvent allusion au rapport des vecteurs avec les forces, mais ne s’appuient pas sur des situations issues de la physique pour aborder des questions relatives aux vecteurs ; ou s’ils le font, c’est, comme nous l’avons vu dans l’analyse des manuels, dans une sorte de parodie de modélisation.

5. Conclusion

Le cloisonnement entre disciplines est-il une fatalité liée au fonctionnement même des institutions ? Peut-on le gérer avec des injonctions dans les programmes officiels ? Il est certain que cela devra au moins s’accompagner de dispositifs de formation qui mettent en rapport des enseignants des deux disciplines.

Mais au-delà de ce constat, on voit bien que c’est un manque de communication entre professions plus qu’entre individus qui est en jeu. Si du point de vue épistémologique, les liens entre vecteurs et grandeurs physiques vectorielles existent, l’histoire du système éducatif avec ses contraintes propres a en quelque sorte tout fait pour les rendre opaques par l’isolement des deux disciplines l’une de l’autre. Les enseignants des deux disciplines sont placés dans une logique qui empêche la collaboration là où elle devrait se faire et conduit à une méconnaissance des vrais enjeux. Les élèves, eux, s’habituent à un discours en porte-à-faux. Comment leur demander dans ces conditions de réinvestir à propos leurs connaissances de mathématiques en cours de physique et vice versa?