FR:

Lautman synthétise dans ce rapport (1935) quelques idées centrales qui seront par la suite développées dans ses Thèses (1935-37). Il s’agit d’un manuscrit inédit, qui semble être le premier texte scientifique du jeune philosophe. Lautman étudie le local et le global suivant Galois, Riemann, Hilbert et Cartan, et propose une hypothèse sur les rapports structurels généraux du local et du global, qui préfigure l’essor de la théorie des faisceaux, laquelle apparaîtra une dizaine d’années après.

EN:

Lautman synthetizes (1935) some of the main ideas that will be developped in his Thesis (1935-37). It is an unpublished manuscript, which may be the first scientific text of the young philosopher. Lautman studies the local/global dialectics, following Galois, Riemann, Hilbert and Cartan, and proposes an hypothesis on general structural relations between local and global, very close to the sheaf theory paradigm which will emerge ten years later.

FR:

Nous étudions le Rapport (1935) de Lautman qui ouvre ce volume. Après une description critique des contenus et une discussion des fonds conceptuels du Rapport, nous montrons comment l’émergence postérieure de la théorie des faisceaux répond techniquement aux questionnements et aux préfigurations de Lautman.

EN:

We study Lautman’s Rapport (1935) which opens this volume. After a critical description and a discussion of the contents of the Rapport, we show how the emergence of sheaf theory answers technically many questions raised by Lautman ten years earlier.

FR:

La question fondamentale d’Albert Lautman concerne la nature du réel et la capacité de l’esprit de l’appréhender. C’est pourquoi elle convoque les données de la physique, leur expression en concepts mathématiques et leur interprétation métaphysique qui doit préciser le rapport de la pensée humaine à la réalité du monde. L’examen des théories mathématiques les plus sophistiquées de son temps (surface de Riemann, loi de réciprocité quadratique, théorie du corps de classes) est destinée à montrer l’affinité de la genèse des concepts mathématiques avec une Dialectique supérieure, qui met en jeu les Idées, comprises en un sens dérivé de Platon. Mon but est d’expliquer comment Lautman comprend les termes « Dialectique », « Idée », « genèse », simultanément sur le plan métaphysique et dans leur incarnation mathématique. Je montrerai que Lautman développe une conception très personnelle du platonisme, différente de celle de la version reçue par la tradition philosophique. Lautman rejette la séparation des Idées et du sensible, et adopte le style de pensée heideggerien pour montrer que les Idées sont mues par une Dialectique et qu’elles entretiennent une relation réciproque, dialectique, avec le sensible.

EN:

Albert Lautman’s main questioning was about the nature of reality and the capacity of mind to grasp reality. The answer needs to go at the same time into the laws and tools of physics and the corresponding concepts of mathematics, and to search for the metaphysical interpretation that could give an account of the relation between scientific thought and reality. The examination of the most sophisticated mathematical theories (Rieman’s surfaces, law of quadratic reciprocity, class field theory) was intended to show the affinity between the generation of mathematical concepts and the dialectical movement of Ideas. My aim is to explain how Lautman understood ‘Idea’, ‘Dialectic’, ‘genesis’ at once in a mathematical and in a metaphysical meaning. I will point out that Lautman had a very personal conception of Platonism, very different from Platonism of mathematicians of his time (notably Gödel and Bernays) and very different from the traditional interpretation developed in philosophy. Lautman did not assume the separation between Ideas and the sensible world. By contrast, he adopted the Heideggerian style of thought to show the Dialectic between Ideas and the reciprocal relation between Ideas and the sensible.

FR:

Cet article interroge la place du platonisme de Lautman dans la tradition épistémologique en France à partir de Brunschvicg. Nous soutenons que, malgré sa position originale, le platonisme de Lautman s’intègre en effet dans cette tradition et doit être compris dans ce contexte. La première partie rappelle certains éléments du relativisme critique de Brunschvicg. La seconde tente une reconstruction de la philosophie de Lautman. Nous concluons en montrant comment le rôle donné par Brunschvicg à « l’expérience » se traduit chez Lautman dans une difficulté propre, concernant la « matière » dans laquelle se réalisent les « Idées ».

EN:

This paper considers the position of Lautman’s Platonism in the French tradition of epistemology starting with Brunschvicg. We claim that Lautman’s Platonism does indeed belong to this tradition and can only be properly understood in this context. The first section discusses Brunschvicg’s “critical relativism”. The second section aims at reconstructing in this context Lautman’s philosophy. Finally, we show that Brunschvicg’s inheritance — or, more specifically, the role that Brunschvicg gives to “experience” — leads in Lautman’s texts to a particular problem, concerning the “material” in which “Ideas” are realized.

FR:

Dans cet article, j’explore dans un premier temps la conception que se fait Lautman de la dialectique en examinant ses références à Platon et Heidegger. Je compare ensuite les structures dialectiques identifiées par Lautman dans les mathématiques contemporaines avec celles qui émergent de ses sources philosophiques. Enfin, je soutiens que les structures qu’il a découvertes dans les mathématiques sont plus riches que le suggère son modèle platonicien, et que la distinction « ontologique » de Heidegger est moins utile que semblait le penser Lautman.

EN:

In this paper, I first explore Lautman’s conception of dialectics by a consideration of his references to Plato and Heidegger. I then compare the dialectical structures that he found in contemporary mathematics with the model that emerges from his philosophical sources. Finally, I argue that the structures that he discovered in mathematics are richer than his Platonist model suggests, and that Heidegger’s “ontological” distinction is less useful than Lautman seemed to believe.

FR:

Cet article examine la thèse de Lautman selon laquelle la réalité des mathématiques doit être approchée par la « réalisation des idées dialectiques ». Pour ce faire, nous reprenons deux exemples que Lautman a lui-même traités. La question est de savoir si on peut ou non mieux décrire les idées dialectiques comme mathématiques, particulièrement maintenant que les moyens mathématiques d’approcher ces idées au niveau de généralisation appropriée existent. Ainsi, la théorie des catégories, inconnue de Lautman, peut donner une description très approfondie de l’idée de dualité. Je soumets de plus que les instances, données par Lautman, de la réalisation des idées dialectiques en dehors des mathématiques et de la physique mathématique sont assez maigres, ce qui suggère fortement que les idées qu’il a décrites si admirablement sont immanentes à la pratique des mathématiques, au lieu d’appartenir à « une réalité idéale, supérieure aux mathématiques ».

EN:

This paper examines Lautman’s claim that the reality of mathematics is to be addressed through the “realisation of dialectical ideas”. This is done in the context of two examples treated by Lautman himself. The question is raised as to whether we might better describe dialectical ideas as mathematical ones, especially now that we have mathematical means to approach these ideas at the right level of generality. For example, category theory, unknown to Lautman, can describe the idea of duality very thoroughly. It is argued that the instances given by Lautman of the realisation of dialectical ideas outside of mathematics and mathematical physics are rather slight, leading us to conclude that the ideas he so brilliantly describes are immanent to mathematical practice, rather than belonging to “an ideal reality, superior to mathematics”.

FR:

L’article montre d’abord jusqu’où convergent la dialectique hégélienne de l’Idée et la dialectique lautmanienne des Idées, et ce sur quoi elles se séparent en profondeur : sur la négativité et le statut de la contradiction. Il s’intéresse ensuite à certaines formalisations qui ont été proposées de ces deux dialectiques : celle de Doz et Dubarle (Logique et dialectique, 1972) pour Hegel dans une extension de la logique booléenne, et celle, récemment esquissée par F. Zalamea en théorie des catégories, pour Lautman. Est montré dans ses grandes lignes comment la traductibilité mutuelle, au niveau technique, peut être établie entre les deux entreprises, la conséquence étant que la divergence spéculative semble rétroactivement gommée, que le négatif semble avoir disparu. À partir de ce paradoxe sont présentées quelques pistes de réflexion sur les enjeux de la démarche de formalisation, entendue comme entreprise de réduction du fossé existant entre le conceptuel et le formel, et de ce qu’elle révèle des rapports entre mathématiques et philosophie.

EN:

The paper begins by showing what is common to Hegel’s dialectic of the Idea and Lautman’s dialectic of Ideas, and where they diverge deeply : on negativity and the status of contradiction. It then focuses on two different attempts to formalize these dialectics : Doz and Dubarle’s attempt (in Logique et dialectique, 1972) to formalize the Hegelian one in an extension of Boolean logic ; and, more recently, Zalamea’s formalization of the Lautmanian one through category theory. The paper then sketches how, at a technical level, these two attempts can be translated one into the other — which indicates, in turn, that the speculative divergence seems to have disappeared, that the negative has been erased. With reference to this paradox the paper provides the reader with some reflections dealing with the stakes of the formalizing process, seen as way of reducing the gap existing between the conceptual and the definite, and of what it reveals of the relations between mathematics and philosophy.

FR:

Dans cet article, je compare les vues de Lautman et Herbrand sur la théorie des nombres et la philosophie de l’arithmétique. Je montre que, bien que Lautman eût avoué avoir été marqué par l’influence de Herbrand, les postures fondationnelles des deux amis divergent considérablement. Alors que Lautman versait dans un réalisme platonicien, Herbrand est resté fidèle au finitisme hilbertien. Il est vrai que Lautman était philosophe et que Herbrand était avant tout arithméticien et logicien, mais il demeure que l’oeuvre de Herbrand a une portée philosophique mieux accordée à la logique et aux mathématiques contemporaines.

EN:

In this paper, I am contrasting Lautman’s and Herbrand’s views on number theory and philosophy of arithmetic. It is argued that despite the fact that Lautman had acknowledged Herbrand’s major influence on his own work, their foundational stances diverge profoundly. Lautman defended a variety of Platonism and Herbrand advocated a personal version of Hilbertian finitism. Of course, Lautman was a philosopher while Herbrand dealt mainly with number theory and logic. It remains though that Herbrand’s work is more in tune with contemporary logic and mathematics from a philosophical perspective.

FR:

On propose ici trois avenues de recherche susceptibles d’élucider le lien un peu mystérieux entre dialectique et mathématiques dans la philosophie d’Albert Lautman.

EN:

This note proposes three lines of work that might help to shed some light on the problematic nexus between dialectical ideas and mathematical theories in Albert Lautman’s thinking.

FR:

Dans sa thèse complémentaire intitulée « Essai sur l’unité des sciences mathématiques dans leur développement actuel » Albert Lautman analysa la question de l’unité des mathématiques en considérant différentes paires antithétiques de concepts mathématiques, notamment le continu et le discret. Dans le cadre de sa refonte de la géométrie algébrique abstraite, le mathématicien français Alexandre Grothendieck considéra également l’opposition traditionnelle du continu et du discret selon un cadre conceptuel fort similaire à celui de Lautman. En comparaison, l’introduction du concept de topos lui permit de donner une réponse strictement mathématique et parfaitement claire à cette question.

EN:

Albert Lautman’s complementary thesis, entitled “Essai sur l’unité des sciences mathématiques dans leur développement actuel”, analysed the unity of mathematics through various antithetical pairs of mathematical concepts such as the continuous and the discrete. As part of his renewal of abstract algebraic geometry, French mathematician Alexandre Grothendieck also considered the traditional opposition between the continuous and the discrete and adopted a conceptual framework very similar to that of Lautman. However, the topos concept allowed Grothendieck to come up with a purely mathematical and, in comparison, much clearer solution.