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La réflexion de Poincaré sur l’espace, dans l’histoire de la géométrie

  • Alain Michel

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Introduction

Dans ce qu’il est convenu d’appeler sa « philosophie » de l’espace et de la géométrie, Poincaré a traité trois grands types de problèmes, qui consistent à chercher l’explication de trois grands ordres de faits : l’applicabilité des différentes géométries, euclidienne et non euclidiennes, à notre espace ; les origines de nos idées fondamentales de l’espace et de la géométrie ; le statut de l’énoncé-croyance usuel que notre espace a trois dimensions [1]. Il s’est prononcé simultanément sur chacun de ces points, et il est assez difficile de les séparer si l’on veut respecter la cohérence de sa pensée. C’est la première exigence. Mais cela ne veut pas dire que cette pensée soit restée fixe ou stable. Poincaré était tout sauf un dogmatique. S’il écrivait apparemment d’un seul jet et sans se relire ni raturer, il n’hésitait pas à reprendre ses analyses et à réviser ses vues chaque fois que, entre temps, des critiques lui étaient apparues légitimes, ou que de nouvelles théories, ou même de nouvelles expériences, lui donnaient l’occasion de les rectifier, à tout le moins de les reformuler. C’est ainsi qu’on le voit revenir, à intervalles quasiment réguliers, sur certaines questions, jusqu’à la fin de sa vie. Un bon exemple est celui de la question des dimensions de l’espace, pièce maîtresse de son épistémologie de l’espace, qu’il traite successivement en 1898, 1903, et 1912 [2]. Il est donc légitime de se proposer de restituer les grandes lignes de ce qu’on peut supposer avoir été sa genèse.

Précisons immédiatement que, s’il s’agit bien de situer la formation des idées de Poincaré dans l’histoire de la géométrie, il n’est pas question pour autant d’y dissoudre ses positions philosophiques, ni d’ailleurs de supposer qu’il avait une connaissance parfaite des oeuvres de l’histoire. On sait par exemple qu’il n’a pris connaissance qu’assez tard de l’oeuvre de certains mathématiciens, notamment allemands, qu’au demeurant ce qui était, dans certains cas, une complète ignorance ne l’a pas desservi — on pourrait même soutenir le contraire —, dans sa création mathématique. Il ne saurait y avoir, pour Poincaré, d’explication par l’histoire, au sens où il n’y a pas de raisons historiques aux choix de Poincaré, mais on peut attendre de l’histoire qu’elle nous éclaire sur le choix de ses raisons. Car il y avait plusieurs manières de faire ce choix.

Cette histoire est alors particulièrement riche, et l’oeuvre de Poincaré s’appuie solidement sur l’ensemble des conquêtes majeures de la pensée géométrique de la deuxième moitié du xixe siècle. La plus grande partie tourne autour de la géométrie projective et des géométries non euclidiennes : fondation par Von Staudt de la géométrie projective dans son autonomie, relativement à la géométrie euclidienne classique, suggestion par Cayley de l’idée d’une métrique projective générale, susceptible de régler à la fois la géométrie euclidienne et les géométries non euclidiennes, formulation par Plücker de son principe d’équivalence, qui ne représente lui-même qu’un aspect du principe général de dualité de Poncelet et Gergonne, publication (en 1869) de la thèse d’habilitation de 1854 de Riemann (Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie) qui affirme, entre autres, l’égalité de validité des trois géométries à courbure constante (euclidienne, hyperbolique, elliptique), premières réflexions sérieuses sur le fondement de la géométrie (après une tentative de Steiner) de Helmholtz, enfin et surtout, dominant le tout, le prodigieux développement de la théorie des groupes de transformations de Lie, dans lequel le fameux programme d’Erlangen de Klein, en 1872, ne fait somme toute, à la réflexion, que figure d’épisode, chargé après coup d’une valeur symbolique et d’une signification de paradigme.

Les traits primitifs de la doctrine, qui resteront fondamentaux, sont fixés dans les textes du premier recueil « philosophique » qu’il ait publié, La Science et l’hypothèse. On y trouve formulé, en des termes qui ne varieront guère, ce qu’on appelle communément son « conventionnalisme », un conventionnalisme que l’on qualifie souvent de « géométrique ». Illustré d’abord par l’interprétation du statut des axiomes de la géométrie, il est ensuite étendu aux principes de la physique, sans que Poincaré y inclue jamais les axiomes de l’arithmétique ni les lois de la physique, admettant, semble-t-il, pour l’analyse, une situation mixte (les théorèmes de l’analyse peuvent être des vérités synthétiques a priori). Cette doctrine trouve son point d’appui essentiel, et aussi quelques unes de ses insuffisances, dans la théorie des groupes de transformation de Sophus Lie, qui lui fournit en même temps les bases de son explication de la genèse de nos idées d’espace et de sa théorie du continu. C’est de là qu’il faut donc partir.

Dans les prises de position épistémologiques de Poincaré, il convient, nous semble-t-il, de distinguer deux sortes de raisons : les raisons de droit, qui sont de l’ordre des principes doctrinaux, les plus explicites, et les raisons de fait, qui sont de l’ordre de la pratique mathématique, plus cachées, demeurant le plus souvent implicites. Tentant de mettre en évidence ces dernières, nous ne pouvons nous dispenser de rappeler, à intervalles réguliers, celles des premières que nous estimons essentielles à sa doctrine. Il va de soi que nous ne prétendons pas en faire le tour, ni même nous prononcer sur les questions les plus importantes qu’elles soulèvent. Résumons donc d’abord les traits bien connus de son « conventionnalisme ».

1. Le « conventionnalisme géométrique » de Poincaré

C’est en premier lieu une réponse à un problème de théorie de la connaissance : quel est le statut épistémologique des géométries (en incluant a priori le cas éventuel d’une géométrie unique, donc de la géométrie), qui sont les plus étroitement reliables, ou applicables, à l’espace ?

D’abord Poincaré accepte la géométrie comme une science mathématique exacte, à ce titre partie de notre connaissance mathématique certaine. Aucune remise en cause n’est ici recevable. Les géométries jugées les plus capables de fournir une description de notre espace seront du même coup considérées comme exactes.

C’est ainsi que Poincaré n’a jamais eu le point de vue de la géométrie pure, abstraite. Il s’est défié des géométries très générales, développées dans des espaces abstraits, à la manière de Riemann. Le trait le rapproche de Klein : comme ce dernier, et la plupart des mathématiciens de son temps, Poincaré est soucieux d’application et de concret [3]. Élève d’Hermite, on le voit refuser les théories générales, celles qui sont forgées pour le plaisir d’inventer des théories générales, et adopter une attitude de prudence dans les exemples qu’il prend de ses théories les plus audacieuses, notamment en ce qui concerne les espaces à plusieurs dimensions. Soit l’exemple de son « théorème du retour » dans les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste  : il commence par le démontrer dans le cas d’un liquide ordinaire dans l’espace usuel (à 3 dimensions), et ce n’est qu’ensuite, au prix de multiples précautions destinées à aider son lecteur par des raisonnements analogiques, qu’il étend le théorème à un espace à nombre quelconque de dimensions, pour l’appliquer finalement aux systèmes dynamiques généraux obéissant aux équations de Hamilton. C’était au demeurant déjà le cas, dans le même ouvrage, de sa théorie des invariants intégraux : « la représentation géométrique dont nous avons fait usage, y explique-t-il, ne joue évidemment aucun rôle essentiel ; nous pouvons la laisser de côté, et rien n’empêchera d’étendre les découvertes précédentes au cas où le nombre de variables est plus grand que 3 ».

Ainsi notera-t-on que la question de la relation de la géométrie à l’espace ne se pose, comme l’a remarqué Jules Vuillemin, que pour des espaces concrets, c’est-à-dire ici compatibles avec le déplacement d’une figure rigide (comme c’est le cas des espaces de Helmholtz-Lie), à défaut d’être empiriques, et non pour des espaces donnés abstraitement, c’est-à-dire par des formules analytiques. Pour de tels espaces, définis par des conditions purement analytiques, comme des formules en coordonnées, le conventionalisme apparaît comme un truisme. On peut naturellement choisir à sa guise le système de coordonnées, ainsi que les fonctions particulières qui expriment tel changement de coordonnées.

Du point de vue de Poincaré, l’expérience ne peut nous fournir une connaissance absolument certaine, car des résultats expérimentaux sont par nature toujours sujets à révision. Ainsi la géométrie, même restreinte à cette branche qui s’applique à notre espace, ne peut être une science empirique.

D’autre part les géométries applicables à notre espace doivent être reliées à la science empirique. La géométrie spatiale doit commencer avec l’expérience et être fondée dans l’expérience. S’il s’agit de géométrie spatiale, ce ne peut être de l’analyse pure.

D’où la question de fond : comment rendre compte de la relation entre la géométrie spatiale et l’expérience, étant donné la séparation instituée des mathématiques exactes, dont relève la géométrie, et de la connaissance empirique, inexacte ?

Il s’agit bien d’une question de théorie de la connaissance, qu’on peut interpréter, sans danger d’en fausser le sens, comme la mise en forme d’une question léguée par la doctrine kantienne. Celle-ci installe en effet à son point de départ la discontinuité entre l’intuition, comme donnée empirique à la source de l’expérience, et le concept, comme essence logique, au fondement de la pensée [4]. Mais Poincaré rejette la solution kantienne, de type rationaliste, fondée sur une forme a priori de notre sensibilité, comme incompatible avec l’égalité de statut qu’on doit reconnaître par ailleurs à toutes les géométries, qu’elles soient euclidiennes ou non euclidiennes. Au total, le conventionalisme géométrique se présente comme un intermédiaire entre l’empirisme géométrique, que Poincaré critique explicitement, et le rationalisme kantien, qui lui paraît à réformer. Entre ces deux pôles, Poincaré admet que l’établissement d’une relation précise entre expérience et géométrie spatiale est affaire de conventions. On impose une géométrie à notre espace par le moyen de conventions, bien que ce soit l’expérience qui nous guide dans le choix de ces différentes conventions. On choisit les conventions qui sont les plus appropriées à l’expérience, et on leur confère le statut de principes agréés, susceptible de les protéger d’une réfutation future. Les conventions ne sont pas empiriquement contrôlables, elles ne sont pas soumises à l’expérience, bien qu’on puisse toujours concevoir que, pour de bonnes raisons, notamment liées à l’expérience, on puisse remplacer une convention agréée par une autre.

La relation de la géométrie avec l’expérience s’établit donc sur la base d’un équilibre soigneusement délibéré.

L’expérience joue un rôle dans la création de la géométrie, et ce rôle est double : les concepts et les hypothèses géométriques proviennent de l’expérience, et justice est ainsi rendue à l’empirisme ; mais, du statut de généralisations empiriques idéalisées auquel ce dernier se borne ses prétentions, les hypothèses géométriques sont élevées au rang de principes conventionnels ou de conventions terminologiques, protégées dès lors de toute sanction par l’expérience. Dans les applications, par exemple dans notre choix d’un système de géométrie métrique, nous sommes guidés par certains critères comme la simplicité.

Tout cela ne suffit pas à faire de la géométrie une science empirique, et part doit être faite au rationalisme. La géométrie n’est pas ouverte à la réfutation par contrôles, ou « tests », expérimentaux. Elle est une science exacte, et on peut même aller jusqu’à dire, en ce sens, que ce sont les géométries les plus applicables à notre espace qui sont les plus exactes. C’est pour garantir cette exactitude que Poincaré exige la position d’un élément a priori — élément qui sera tout naturellement, dans un premier temps [5], le concept de groupe abstrait. Selon Poincaré, l’esprit a la capacité innée de construire des groupes continus, qui ne se limitent pas aux groupes euclidiens, et d’en appliquer quelques-uns à l’expérience. C’est cette partie a priori de notre entendement [6] qui garantit que la géométrie peut être exacte et certaine.

En bref, les conventions servent de pont entre la connaissance empirique inexacte et les mathématiques précises. De ce point de vue, l’épistémologie géométrique de Poincaré peut être présentée comme un essai de réconciliation, ou plutôt de position d’une médiation, entre la certitude mathématique et l’incertitude, ou la « faillibilité », de l’expérience.

Revenons un instant sur ces deux points : le rôle et les limites de l’expérience.

Quant au premier, Poincaré souligne souvent le fait que ses conventions ne sont pas choisies arbitrairement. Elles ne sont pas de simples conventions de langage, comme quand nous décidons qu’un mot pourra être utilisé en lieu et place d’une autre expression linguistique généralement plus complexe — ce qui ne veut pas dire qu’elles n’ont pas un aspect de convention linguistique. Mais il ne donne qu’un petit nombre de ces règles générales d’acceptation ou de refus qui seraient susceptibles de nous aider à choisir les conventions, et il n’en analyse guère la signification. Ses règles principales pour choisir une convention plutôt qu’une autre paraissent être : la conformité approchée à l’expérience ordinaire, ce que recouvre semble-t-il l’expression de « commodité » ; la simplicité ; des considérations empiriques relevant de ces deux dernières, et liées par exemple à notre connaissance de l’existence dans la nature de corps solides dont les mouvements approchent de près les conditions de réalisation d’une structure de groupe euclidien. Dans tous les cas, il ne s’agit que de guides, plus ou moins subjectifs. L’expérience ne fournit jamais que des résultats inexacts. On doit, pour en dériver une convention précise, en fournir des interprétations, qui par nature peuvent varier et impliquer des éléments subjectifs [7].

Quant au second, il faut admettre que nous ne soumettons jamais à un contrôle expérimental les géométries, même les géométries métriques appliquées, relativement aux groupes de corps physiques et de leurs mouvements, mais que nous ajustons notre géométrie aux expériences par un choix approprié de la définition de la « congruence » et par des procédés d’essence linguistique analogues. En bref, comme on a proposé de le dire, nous adoptons, relativement aux géométries métriques, l’« attitude nominaliste [8]  », d’où il résulte qu’elles fonctionnent alors pour nous comme des langages plutôt que comme des théories empiriques — cela même dans les applications physiques. Elles demeurent donc des sciences exactes, non sujettes à révision, ce qui ne pourrait être le cas si on admettait qu’elles fussent expérimentalement contrôlables.

L’esprit humain a la possibilité de créer toute une variété de géométries, c’est-à-dire de langages géométriques alternatifs. On choisit, par convention, l’un d’entre eux comme la meilleure représentation de notre espace, et le meilleur langage mathématique pour nos théories physiques [9]. Pour Poincaré, comme pour Klein et Lie, une géométrie n’est rien d’autre que l’étude d’un groupe. Les groupes possibles de géométrie spatiale sont tous suggérés par les mouvements de corps solides dans la nature. La convention que les classes de déplacements forment un groupe est pertinente, mais seulement partielle. On peut l’exprimer plus complètement en incorporant en elle l’alternative que les déplacements forment un groupe euclidien ou qu’ils forment l’un des groupes non euclidiens. On choisira le groupe euclidien parce qu’il est le meilleur de ce point de vue pour la géométrie spatiale : il est mathématiquement le plus simple, à l’inverse d’autres groupes, il contient un sous-groupe invariant, et il est conforme à notre expérience des corps solides.

Les géométries, qu’elles soient euclidiennes ou non euclidiennes, sont autant de manières possibles de décrire les phénomènes naturels, et il est possible de passer de l’une à l’autre en construisant des dictionnaires spécifiques de termes équivalents pour les différentes géométries. Envisagées de ce point de vue, elles constituent des systèmes de langage complexes qui, présentés axiomatiquement, constituent des « définitions implicites » de leurs termes primitifs. Le fait que quelques uns au moins de ces langages sont inter-transformables, et même inter-traductibles, rend possible le choix de commodité, et présente l’avantage de faciliter la solution des problèmes géométriques : par un choix convenable de la géométrie, on peut simplifier la solution d’un problème, exactement comme on peut le faire par un choix convenable du système de coordonnées [10]. C’est l’aspect de convention linguistique, que retiendront exclusivement Carnap, Reichenbach et leurs successeurs.

2. Une application privilégiée : la genèse de nos idées d’espace

Comment obtenons-nous notre connaissance de l’espace et de ses propriétés ?

Pour répondre à cette question, Poincaré expose ce qui est une véritable théorie de la genèse de nos idées d’espace et de notre connaissance de la géométrie spatiale ; elle constitue une expression importante de son conventionnalisme [11].

Dès le départ, il adopte une psychologie référée au sujet, de type associationniste et sensationniste ; elle va servir de cadre à sa théorie de la genèse de l’espace et de la géométrie. À partir de cette position subjectiviste, il décrit la manière dont on acquiert les relations spatiales, pour constituer finalement l’espace géométrique.

Les sensations par elles-mêmes, qu’elles soient visuelles, tactiles ou musculaires, ne nous donnent pas la notion d’espace directement. Elles n’ont pas en soi de caractère spatial. Elles ne peuvent donc produire par une relation causale directe, comme une vue empiriste naïve pourrait le laisser croire, la notion d’espace ou de géométrie d’un espace. Ici intervient un point fondamental : pour Poincaré, nous n’avons pas de connaissance, ou d’appréhension, directe de l’espace physique.

L’expression même d’« espace physique » ne fait pas partie de son vocabulaire philosophique. De son point de vue, il y a un espace sensible ou représentatif construit à partir de sensations visuelles, tactiles, cinesthésiques, et par un processus de classification. Cependant, cet espace empirique n’a aucune des propriétés du véritable espace géométrique : il n’est ni infini (ou même non-borné), ni homogène ni isotrope. L’explication vise moins l’origine et les propriétés de l’espace empirique que celles de l’espace géométrique pur, espace conceptuel sur lequel nous raisonnons et que nous pouvons utiliser dans nos théories physiques [12]. Poincaré considère cependant les sensations comme ayant une fonction significative dans la création et le développement de notre concept d’espace géométrique : elles fournissent à notre esprit l’occasion de construire l’espace géométrique. Notre esprit forge une relation entre les sensations et l’espace géométrique par des actes de classification et d’analyse de certains changements de nos sensations.

Supposons un objet devant nous, en mouvement, hors de notre centre de vision. On peut le ramener au centre de notre rétine par un mouvement de nos yeux ou de notre corps. En termes sensationnistes, on peut rétablir notre sensation primitive de l’objet. Poincaré donne l’exemple d’une sphère placée devant nous, et comportant un hémisphère bleu et un autre rouge. Si on voit d’abord l’hémisphère bleu, et qu’ensuite la sphère tourne, de telle sorte que le rouge devienne visible, nous pouvons ramener notre sensation de bleu par des changements de nos sensations internes, par exemple, en tournant nous-même autour de la sphère. Nous sommes capables de corriger un changement externe de sensations, une rotation de la sphère, par un changement interne de sensations, par un mouvement autour de la sphère qui constitue une rotation compensatoire. Cela est souvent possible, mais pas toujours, comme le montre l’exemple d’un changement d’état chimique, celui d’un liquide passant du bleu au rouge par une réaction d’ordre chimique. En général, il y a des changements indépendants de notre volonté, et non accompagnés de sensations musculaires. Ces changements externes que nous pouvons corriger par des changements internes de manière à rétablir notre impression première sont appelés « déplacements » ; les autres, ceux que nous ne pouvons corriger, « altérations ».

On peut de plus classer ces changements externes qui sont des déplacements. Une telle classification est cruciale pour la théorie de Poincaré. Si les hémisphères offraient deux autres couleurs, et que la sphère subisse une rotation, on pourrait corriger le changement externe des impressions, le déplacement, par le même changement interne que celui utilisé auparavant. Le changement interne serait le même en ceci que les sensations musculaires seraient les mêmes, alors que les visuelles ne le seraient pas. Donc, dans ce cas, il y a une variété de déplacements équivalents. En termes géométriques, la classe de tous les déplacements ainsi équivalents est supposée correspondre à une rotation de 180 degrés. Cependant, Poincaré ne peut, à ce stade, utiliser un tel langage géométrique, puisqu’il en est encore à en expliquer l’origine.

De même, on peut imaginer qu’il est possible de distribuer tous les déplacements individuels externes en classes. En effet, il y a des classes d’équivalence : deux déplacements externes sont équivalents si, et seulement si ils peuvent être corrigés par le même changement interne, au moins sur le plan des sensations motrices. De la même manière, on peut considérer des déplacements internes, c’est-à-dire des changements internes correspondant à des déplacements externes, et imaginer qu’ils sont distribués en classes d’équivalence, coextensives à celles des déplacements externes. Ces déplacements individuels, plus précisément les classes de déplacements individuels (qu’il appelle aussi, par abus de langage, « déplacements »), sont fondamentales pour la création de la géométrie. On apprend à rassembler les déplacements en classes d’équivalence par une application active de l’esprit. L’opération revient à pratiquer une abstraction sur les mouvements purs, tels que les translations et les rotations, à partir des sensations, en écartant les propriétés incidentes, comme la couleur. Ainsi les classes de déplacements engendrées au niveau des sensations s’identifient aux mouvements et transformations au niveau plus élevé de la géométrie.

On a fait remarquer que beaucoup de difficultés subsistaient, relatives en particulier à l’identification précise des déplacements individuels et à leur classification. Il s’agit d’une théorie qui n’est peut-être pas entièrement plausible : comment déterminer des déplacements plus ou moins exacts à partir de sensations musculaires ? Comment développer une géométrie globale, à partir de ces phénomènes locaux [13]  ? Une fois encore, l’hypothèse clé nous paraît être que tout ensemble de classes de déplacements forme un groupe au sens mathématique abstrait [14]. La théorie se trouvait ainsi en relation étroite de correspondance avec les travaux de Lie sur les fondements de théorie des groupes de la géométrie, dont les résultats étaient exposés dans les trois parties du monumental traité de Lie et Engel publié entre 1886 et 1893. C’est par là que l’épistémologie de Poincaré s’articule à l’histoire.

Avant d’y venir, il nous faut encore préciser en quoi la position médiatrice de la convention renvoie à la conception de l’espace.

3. Le statut médiateur de la convention et le principe de relativité : l’exemple de l’hypothèse d’existence des groupes de déplacements

On a vu que si le problème épistémologique est bien celui, posé pour la première fois par Kant, de la condition de possibilité de la mise en relation de la théorie et du fait, on ne peut, pour le résoudre, se satisfaire du synthétique a priori kantien. La géométrie spatiale, dans sa spécification concrète évoquée plus haut, doit servir d’intermédiaire entre les théories et les faits expérimentaux. Poincaré soulignera, dans sa discussion avec Le Roy, que les faits scientifiques ne sont pas « faits » (créés de toutes pièces) par le savant, comme on se complaisait parfois à le dire alors, mais que ce ne sont jamais que les faits bruts, ordinaires, les faits du sens commun, traduits dans le langage de la science. Ces faits d’expérience, ou d’ailleurs d’observation, ne sont comparables aux prédictions théoriques que s’ils sont préalablement rendus homogènes aux théories qui permettent les prédictions. Et c’est la géométrie qui fournit les outils, ou moyens, de la description géo-chronométrique et cinématique exigée pour cette homogénéisation, ainsi que les termes de comparaison pour l’évaluation des théories physiques.

D’où l’élimination, déjà relevée, de l’espace mécanique ou physique. Tout se passe en effet comme si, aux yeux de Poincaré, l’espace de la géométrie suffisait à la physique. C’est la géométrie qui procure le schéma dans lequel les données de l’expérience se déploient pour avoir le sens théorique qui les rend acceptable par la science. Aussi est-il impossible qu’elles la contredisent. Or l’élimination de l’espace physique est elle-même liée par une relation d’essence au « principe de relativité », lequel entraîne à son tour la disjonction de la géométrie et de l’expérience qui est au coeur du conventionnalisme de Poincaré.

L’énoncé que donne le chapitre v de La Science et l’hypothèse du principe de relativité stipule que « l’état des corps et leurs distances mutuelles à un instant quelconque dépendront seulement de l’état de ces mêmes corps et de leurs distances mutuelles à l’instant initial ».

Et non pas de leurs relations à l’espace [15]. Le principe signifie que l’information empirique n’a pas de rapport avec la structure de l’espace géométrique. Il prive ainsi de sens la question même de savoir si la géométrie peut être soumise à la décision de l’expérience. Dans cette mesure, comme le souligne Jules Vuillemin, Poincaré est plus radical que Klein, car ce n’est pas seulement, comme chez ce dernier, l’imagination de l’espace, mais encore l’espace lui-même dans son rapport à la réalité physique qui est conventionnel [16]. À vrai dire, on peut donner au principe diverses formes, géométrique, mécanique, physique en général : quelle que soit cette forme, il s’agit toujours d’affirmer l’existence d’invariants relatifs à certains groupes de transformations. Une théorie des invariants relatifs à un groupe de transformations n’est rien d’autre qu’une théorie de la relativité par rapport à un groupe.

Analogue ici à celle de Mach, la position de Poincaré consiste à dire qu’une stricte application de la loi exigerait qu’on considérât l’univers entier.

Mais si notre système est l’univers entier, l’expérience est impuissante à nous renseigner sur sa position et son orientation absolues dans l’espace. Tout ce que nos instruments si perfectionnés qu’ils soient, pourront nous faire connaître, ce sera l’état des diverses parties de l’univers et leurs distances mutuelles. (…)

Les lectures que nous pourrons faire sur nos instruments, à un instant quelconque, dépendront seulement des lectures que nous aurions pu faire sur ces mêmes instruments à l’instant initial. 

Elles ne peuvent donc par elles-mêmes nous permettre de décider entre les géométries. Elles sont indépendantes de l’interprétation géométrique de ces lectures.

D’où la pluralité. C’est la géométrie qui opère la traduction de la nature en langage mathématique que nous venons d’évoquer. Mais il y a plusieurs manières possibles de le faire, et non par la seule géométrie euclidienne, comme au temps de Galilée ou Newton. Il y a autant de traductions possibles que de géométries disponibles, qui sont elles-mêmes traductibles entre elles. La formulation de la théorie scientifique doit convenir au système de description choisi, mais son pouvoir prédictif restera inchangé dans ses diverses traductions.

Reprenons son exemple favori des déplacements, en tant qu’ils sont à l’origine de l’espace.

Des déplacements individuels, on ne peut dire en toute rigueur, on l’a vu, qu’ils forment un groupe, car ils dépendent des sensations d’objets individuels. Même des déplacements équivalents peuvent commencer et finir avec des sensations distinctes, de sorte qu’il n’est pas toujours possible de combiner deux déplacements individuels par succession. On fait alors l’hypothèse qu’il existe toujours deux classes quelconques de déplacements individuels compatibles. La propriété des déplacements de former un groupe n’est peut-être pas tout à fait évidente, mais la condition que les déplacements forment un groupe est absolument nécessaire pour la géométrie, ou, pour mieux dire, pour la géométrisation.

Le problème philosophique est la justification de cette hypothèse.

Aux yeux de Poincaré, elle n’est ni a priori, ni empirique.

Elle n’est pas a priori car elle n’est pas évidente ou absolument certaine, du fait de la complexité de la compensation des changements externes par les changements internes, et de leur composition en classes.

Elle n’est pas empirique, car elle serait alors ouverte au verdict de l’expérience, et, en cas de falsification, la géométrie serait détruite. Il y a des réfutations apparentes, de déplacements qui ne forment pas un groupe, que nous rejetons comme réfutations. Nous préférons les ajuster pour qu’ils rentrent dans les classes de déplacements en satisfaisant la loi de groupe (voir sa distinction de la forme et de la matière du groupe). En négligeant les non-déplacements nous faisons pour ainsi dire rentrer de force les déplacements dans ce moule de théorie des groupes. Nous faisons une convention, non arbitraire, mais cohérente avec l’expérience ordinaire. Les déplacements qui paraissent satisfaire la loi de groupe s’insèrent dans des classes obtenues approximativement à la loi de groupe. Dans l’analyse finale, nous renforçons la loi par une convention, pour obtenir la construction de la géométrie qui se fonde sur la théorie des groupes. Nous élevons la loi de clôture pour les groupes de déplacements au statut d’un principe conventionnel, que nous choisissons de ne pas réfuter.

L’existence même du groupe des déplacements garantit que l’espace résultant est homogène, isotrope, et non borné : autant de propriétés qui le distinguent de l’espace représentatif. Un tel groupe de transformations à 6 paramètres (tout déplacement suffisamment petit pouvant être engendré par 6 rotations infinitésimales) est continu au sens de Lie : les classes de déplacements forment un continu physique « parfait ». Nous choisissons par convention le groupe euclidien des mouvements (isométries directes) rigides, préservant l’orientation, comme la meilleure représentation du groupe des déplacements. Cette convention est justifiée par le fait que le groupe euclidien a un sous-groupe invariant, celui de toutes les translations, propriété qui fait défaut aux groupes non euclidiens. Ainsi, la géométrie de l’espace devient seulement l’étude des propriétés formelles [17] d’un certain groupe continu à 6 paramètres, le groupe euclidien. On impose ce groupe à la nature, bien que l’expérience nous guide dans le choix du groupe le meilleur pour l’application à la nature [18].

4. La théorie des groupes de transformations de Sophus Lie, fondement mathématique du conventionalisme de Poincaré.

4.1. Premiers mémoires et premiers travaux.

Comme plusieurs commentateurs l’ont suggéré, les travaux de Lie sur les groupes sont la véritable origine du conventionnalisme géométrique de Poincaré [19].

A la fin du premier mémoire dans lequel on trouve trace d’une position philosophique concernant le statut des axiomes de la géométrie, Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie, mémoire dont le titre pourrait plutôt évoquer Riemann [20], Poincaré déclare :

Ce résultat n’étonnera pas les mathématiciens qui ont lu les remarquables travaux de M. Sophus Lie sur la théorie des groupes. […] Nous ferons par la suite de fréquents emprunts au Mémoire du savant norvégien. 

On y voit Poincaré s’inspirer clairement de l’approche de « théorie des groupes » qui a été celle de Lie en géométrie [21], une approche qui consiste dans une méthode pour trouver tous les groupes continus possibles pour les différentes géométries d’une variété à deux dimensions, ou du plan. On peut considérer que c’est en raison de ce rattachement à Lie :

  1. que Poincaré met en avant dans tous ces essais l’idée que le concept de groupe, comme concept a priori, forme un fondement naturel et sûr pour la géométrie, que la géométrie est l’étude des groupes continus ;

  2. qu’il exclut les géométries plus générales considérées par Riemann dans sa thèse d’habilitation ;

  3. qu’il se restreint au point de vue dit « de Helmholtz-Lie » sur le problème de l’espace. Comme Klein, il ne garde que les espaces à courbure constante — à l’exclusion de ceux à courbure variable, c’est-à-dire de toutes les géométries riemanniennes dans lesquelles « l’axiome de libre mobilité » n’est pas valide, et bien qu’il les accepte comme mathématiquement (analytiquement) possibles [22].

L’étude de 1887, dont l’intérêt historique est de contenir un exposé de l’essentiel de ce qui deviendra son bréviaire conventionnaliste, montre que Poincaré rejette non seulement la conception kantienne mais aussi la conception riemannienne. Il considère cette dernière comme empiriste, parce qu’elle implique qu’il est possible de décider quelle géométrie est vraie sur la base de fondements, c’est-à-dire de faits, expérimentaux. La leçon du mémoire, c’est que la source du conventionnalisme géométrique de Poincaré ne doit pas être cherchée dans les vues et la discussion des fondements de la géométrie de Riemann, mais ailleurs, à savoir dans la théorie des groupes de Lie.

C’est ce que viendrait confirmer le travail proprement mathématique de Poincaré de cette période, à propos duquel nous ne pouvons malheureusement entrer dans le détail.

C’est au cours de ses recherches sur les fonctions automorphes d’une variable complexe (dites par lui fuchsiennes » ou « kleinéennes ») que Poincaré introduit pour la première fois des considérations de géométrie non euclidienne. Il y avait rencontré ce qu’on appelle aujourd’hui le « groupe modulaire », c’est-à-dire le groupe des transformations T : z→T(z) données par l’expression :

où a, b, c, d sont des constantes réelles. Pour ces transformations, les fonctions analytiques définies sur un ouvert connexe D du plan complexe sont invariantes. Poincaré avait montré, en utilisant les géométries non euclidiennes, que pour tout groupe discontinu de transformations de ce type, il existe un domaine fondamental borné par des segments ou des cercles, et dont les transformés par des éléments de G recouvrent D sans chevauchement. Réciproquement, étant donné un tel polygone circulaire, satisfaisant certaines conditions explicites relatives aux angles et côtés, on peut montrer qu’il est le domaine fondamental d’un groupe discontinu de transformations de type (1).

On sait qu’en commençant ses recherches, Poincaré ignorait à peu près tout de la littérature. Son idée d’associer à tout groupe fuchsien un domaine fondamental, comme celle d’utiliser la géométrie non euclidienne est sans aucun doute une innovation personnelle (elle n’est jamais mentionnée dans les travaux sur les fonctions modulaires avant 1880). Il est raisonnable de penser qu’il y a eu en fait convergence avec le travail de Lie, accueil de possibilités déjà développées dans une certaine mesure par Poincaré, virtualités que Lie a en quelque sorte cristallisées.

4.2. La théorie de Plücker-Lie.

De l’aveu même de leur auteur, les nouvelles conceptions développées par Lie dans son mémoire de 1871, Sur une classe de transformations géométriques [23], sont « fondées sur le fait qu’une courbe de l’espace qui dépend de 3 paramètres peut être choisie comme élément pour la géométrie de l’espace » et que, en général, le choix d’une géométrie est une affaire d’opportunité : on développe et on utilise une géométrie dans la mesure où elle se révèle avantageuse ou commode pour résoudre les problèmes du moment [24]. Un des grands résultats de Lie a consisté à établir que la géométrie dite « de Plücker », dont Klein a démontré qu’elle était interprétable comme géométrie métrique à 4 variables, peut être transformée, par une « transformation de contact », en une géométrie spatiale dont l’élément est une sphère, c’est-à-dire en une géométrie sphérique. Cette opération consistant à transformer une géométrie en une autre présente de grands avantages : un problème concernant les sphères peut être transformé en un problème concernant les droites, ce qui peut procurer les moyens d’une résolution plus simple. Le « principe de transformation » qui règle une telle opération peut être considéré comme un des fondements du conventionnalisme géométrique de Poincaré.

La théorie de Lie dérive elle-même de celle de la réciprocité, plus généralement de la dualité, dite de Poncelet-Gergonne. Cette dernière permet d’en saisir l’esprit en évitant les complications techniques qu’exigerait le rappel des travaux fondateurs de Lie.

La géométrie projective a habitué les géomètres à considérer les figures engendrées par des plans, des droites, etc., d’où l’idée de regarder ces plans, droites, etc., comme des éléments générateurs de la géométrie, au même titre que les points (les points ne sont pas engendrés par des droites, mais l’on peut identifier un point à la gerbe de droites passant par lui). Toute projectivité transforme de la même manière points et gerbes de droites correspondantes, et c’est la loi suivant laquelle s’effectuent toutes ces transformations qui est la source de toutes les propriétés projectives des figures ponctuelles : en remplaçant dans les énoncés « point » par « gerbe », on a des énoncés encore valides. Ainsi, la géométrie projective réglée et la géométrie ponctuelle peuvent être considérées comme des chapitres respectifs l’une de l’autre, ce sont deux aspects différents d’une seule et même géométrie. Mais le choix de la droite comme élément générateur modifie profondément l’espace et le groupe de cette géométrie. L’espace dont les éléments sont les droites est à 4 dimensions au lieu de 3 : il subsiste cependant quelque chose de commun, et c’est l’étude du groupe, de la loi de composition des opérations.

Il suit de ce principe que, si l’on prend la droite comme élément fondamental de la géométrie projective plane, on arrive à une géométrie tout à fait identique à la géométrie initiale. En géométrie dans l’espace, la situation est quelque peu différente : le principe de dualité énonce ici que c’est la géométrie des plans dans l’espace projectif qui est identique à la géométrie projective des points dans l’espace ordinaire. La géométrie des droites dans l’espace projectif est quelque chose de tout à fait nouveau : l’espace des droites est à 4 dimensions (on peut par exemple prendre les coordonnées du point P d’intersection d’une droite avec xOy et celles de l’intersection P’ de la même droite avec xOz).

Il devait revenir à Plücker d’élaborer analytiquement le principe.

Dans son ouvrage de 1828 [25], il part de la remarque très simple que l’équation d’une droite, donnée en coordonnées homogènes dans le plan :

est complètement symétrique en u et en x. Plücker en profite pour interpréter alors les coefficients u comme les quantités variables, de sorte que l’équation en vient à représenter le système de droites passant par le point fixé x (si les quantités xi sont fixées, les ui, ou tous nombres proportionnels, sont les coordonnées d’une droite dans le plan). Ainsi, tout comme l’équation f(x1,x2,x3) représente une collection de points, f(u1,u2,u3) représente une collection de droites, ou « courbe linéaire » (par exemple les tangentes à une courbe ponctuelle forment une courbe linéaire : dans le cas d’une conique, c’est la duale, ou conique linéaire). Il en irait exactement de même de l’équation u1x1+u2x2+u3x3+u4=0 d’un plan en coordonnées parallèles dans l’espace.

En 1846 [26], Plücker généralise l’argument de l’ouvrage de 1828, il admet la droite comme élément de base possible dans le plan et dans l’espace, et nomme les termes ui « coordonnées linéaires » (ou « coordonnées de droites »). En termes des coefficients u, l’équation (2) représente le faisceau des droites passant par le point x, donc, en un sens, le point x lui-même. On peut interpréter l’équation linéaire aussi bien comme l’équation d’une droite en coordonnées ponctuelles que celle d’un point en coordonnées linéaires (et il en va de même du point et du plan dans l’espace).

Le point fondamental, comme l’a bien vu Plücker, consistait dans la remarque suivante : le caractère symétrique en u et x de l’équation (2) pour la configuration unitaire point / droite, d’où résulte la possibilité d’intervertir les deux termes dans tout énoncé fondé sur leur simple concaténation, rend possible une formulation et une démonstration algébriques du principe de dualité.

Etant donnée une équation générale f(r,s,t)=0, si on interprète r,s,t comme les coordonnées homogènes x1,x2,x3 d’un point, alors on a l’équation d’une courbe ponctuelle (ou courbe algébrique), mais si on les interprète comme les coordonnées u1,u2,u3 d’une droite, on a l’équation de la courbe linéaire (ou faisceau algébrique) duale. Et toute propriété démontrée par un procédé algébrique pour une courbe ponctuelle donnera une propriété duale pour la courbe linéaire parce que l’algèbre est la même sous les deux interprétations. Utilisé jusqu’alors de manière plutôt heuristique, et souvent comme une sorte de deus ex machina, le « principe de dualité » de Poncelet-Gergonne y trouvait l’instrument de son élucidation théorique, et la voie d’une libération opératoire. Le contenu mathématique essentiel en était clarifié comme équivalence du point et de la droite en tant qu’éléments de base de la géométrie plane —du point et du plan pour la géométrie dans l’espace, d’où résultera directement, une fois mis au point le concept d’espace abstrait (ou variété) l’idée de la liberté du choix de l’« élément d’espace » comme point de départ de la géométrie.

Dans le Programme d’Erlangen, Klein théorisera cette notion d’équivalence, énonçant que deux théories géométriques apparemment différentes peuvent devenir équivalentes (gleichbedeutend) en ce sens précis que, par une correspondance bijective (ou 1-1) entre des éléments spatiaux convenablement choisis dans chacune, on établit un isomorphisme entre leurs groupes associés. Quant au « programme » lui-même, on ne souligne pas assez que, pour être correcte, et en tout cas complète, sa description exige trois traits, et non pas deux. Pour déterminer une géométrie, la donnée du domaine ou de l’espace et celle du groupe ne suffit pas : il convient d’y ajouter l’élément générateur, l’atome ou l’élément le plus simple du domaine [27].

Le concept de variété n-dimensionnelle de Grassmann offrait un autre champ d’application des idées fécondes de Plücker. Jusqu’alors perçu comme une généralisation vide, il acquiert un contenu géométrique substantiel, qui le fait sortir du domaine des constructions algébriques formelles.

Rappelons brièvement la définition des coordonnées plückériennes [28]. Soient X et Y des points de l’espace projectif à 3 dimensions, de coordonnées (xi) et (yi), i=1,2,3,4. Les coordonnées de droite de Plücker déterminées par X et Y sont alors les 6 quantités : p12, p13, p14, p34, p42, p23, avec : pik=xiyk-xkyi. Ces coordonnées linéaires, dites « plückeriennes » sont liées par la relation : p12p34+p13p42+p14p23=0. Elles forment donc une variété à 4 dimensions. Plücker les conçoit comme les éléments d’une sorte de géométrie à 4 dimensions. La géométrie linéaire, construite à partir d’un ensemble dépendant de 4 paramètres, procure donc un modèle de théorie d’objets à 4 dimensions dans l’espace ordinaire, dont il apparaît que la dimension n’est fixée à 3 que pour autant qu’on considère les points comme objets géométriques de base, que l’on a effectué le libre choix des points comme éléments d’espace. En choisissant un ensemble de base dépendant d’un nombre suffisant de paramètres, il est possible d’étudier des variétés de dimension arbitrairement grande sans abandonner l’espace à 3 dimensions. L’espace multi-dimensionnel reste inséré dans l’espace à 3 dimensions.

On voit les conséquences, dès lors qu’on pourra disposer du concept de groupe abstrait. S’il n’y a pas de sens géométrique à assigner à une variété une dimension qui lui soit « naturelle », on doit établir une séparation conceptuelle entre l’espace objectivement existant (à 3 dimensions) et la construction mathématique d’une variété (de dimension arbitraire). L’interprétation de cette séparation en termes matériels conduit directement, au-delà du Programme d’Erlangen, aux idées de Riemann et de Hilbert, et à la géométrie de la théorie de la relativité. On avait là une pierre d’attente pour le concept de groupe de transformations dans l’espace à n dimensions.

Les idées de Plücker ont sans aucun doute beaucoup influencé Poincaré. Mais, comme on l’a déjà remarqué, l’autre source, encore plus proche, solidaire d’ailleurs de celle de Plücker, est certainement à chercher chez Lie. Les recherches, souvent menées en commun avec Klein, de ce dernier, ont puissamment contribué à promouvoir l’idée que le concept de groupe est le véritable fondement de la géométrie. Chacune des géométries les plus importantes, d’Euclide, de Lobatchevski, de Riemann, correspond à un groupe continu particulier, au sens de Lie, par exemple l’objet de la géométrie euclidienne ordinaire est l’étude du groupe des déplacements euclidiens, qui la contient toute en lui, et il y a autant de géométries que de groupes de transformations. Le but d’une géométrie est l’étude des propriétés des figures qui restent inaltérées quand on leur fait subir un déplacement quelconque — propriétés indépendantes de leur position et de leur orientation. Une fois le groupe supposé connu, tous les théorèmes de géométrie s’en déduisent par le calcul. Un algébriste qui disposerait de ce groupe pourrait reconstituer les notions, proprement géométriques de point, de droite, de plan, etc. C’est le fond même du Programme d’Erlangen, qui doit beaucoup, à la fois dans ses origines et dans ses développements, au travaux de Lie sur les groupes continus. Poincaré a fait sienne cette conception [29].

5. Conclusions. Poincaré entre Lie et Riemann

La question des rapports de Poincaré à l’oeuvre de Riemann a été considérablement embrouillée du fait à la fois des événements intervenus dans l’histoire de la théorie physique après la mort du premier, avec l’apparition de la Relativité générale, et des vues rétrospectives que cette dernière a inévitablement engendrées. Un bon exemple des ambiguïtés et confusions dont a été recouverte la position de Poincaré est fourni par la revendication du « conventionnalisme géométrique » par la tradition empiriste, celle de Carnap, de Reichenbach, et des membres du Cercle de Vienne. Poincaré a, de manière trop claire, et à de trop nombreuses reprises, critiqué et rejeté l’empirisme, pour qu’on en accepte aussi facilement les conclusions. Certains, comme Grünbaum [30], ont voulu en corriger les excès, en expliquant les origines riemanniennes de l’idée conventionnaliste. La construction riemannienne du concept d’espace à partir d’un continu pris comme variété n-dimensionnelle générale, d’abord métriquement amorphe, structuré ensuite librement par choix de relations métriques, fondement de la possibilité de la mesure et de la congruence (caractère amorphe de l’espace, métriques alternatives, conventionnalité de la congruence), serait la véritable origine du conventionnalisme de Poincaré.

Une telle interprétation permet de laver en quelque sorte ce dernier du soupçon de manquer au devoir élémentaire de l’empiriste, de préférer toujours la leçon de l’expérience à la pérennité de la théorie. En interprétant comme il le fait l’épreuve expérimentale, par exemple les mesures parallactiques, Poincaré refuse moins le verdict de l’expérience qu’il ne réaffirme la thèse riemannienne de structuration a posteriori d’un espace initialement amorphe par la métrique. Il n’y avait rien là de contradictoire avec un empirisme modéré, qui serait celui de Poincaré. Un autre avantage de la dite interprétation est de montrer que Poincaré, s’il combat « l’empirisme géométrique » — et peut donc être enrôlé chez les empiristes modérés, proches de Carnap ou Reichenbach [31], comme veut le faire Grünbaum — n’est pas anti-empiriste ou nominaliste pour autant, puisqu’il est avéré par les textes qu’il a formellement, et à plusieurs reprises, rejeté le nominalisme de Le Roy.

L’empirisme géométrique consiste dans l’idée qu’il y a une métrique intrinsèque dans l’espace lui-même, à découvrir par l’expérience, ou alors que, s’il n’y a pas de métrique intrinsèque dans l’espace (comme c’est peut-être le cas), elle peut de toute façon être mise expérimentalement en évidence ailleurs : par exemple dans les « forces de liaison » qui opèrent sur, ou dans, l’espace même — exactement comme on peut découvrir par expérience si l’espace physique est euclidien, non euclidien, ou doté d’un non-euclidianisme variable, ce qui est une autre idée des empiristes.

La question du statut de la géométrie, de son rapport à l’expérience et à la physique, est trop complexe chez Poincaré pour pouvoir être envisagée ici dans toute son extension. Nous nous contenterons des remarques suivantes, que nous semble autoriser la mise en relation exigée des positions épistémologiques avec le travail mathématique.

Enraciné dans les travaux de Lie et Plücker, le « conventionnalisme » de Poincaré ne paraît pas avoir été directement inspiré par une forme, au demeurant assez hypothétique, de ce dernier, qu’on trouverait chez Riemann [32]. La thèse de l’amorphisme de l’espace, fondement de la conventionnalité de la congruence ou de la métrisabilité alternative, énonce une propriété structurale de l’espace physique. Il n’est pas sûr qu’on puisse l’attribuer sous sa forme stricte à Poincaré, pour lequel il y a moins amorphisme de l’espace qu’élidation, pour ne pas dire négation, ou élimination de l’espace en tant qu’entité physique. Si l’espace physique est élidé c’est qu’il est moins métriquement amorphe qu’intrinsèquement inobservable. La séparation, d’essence hilbertienne [33], entre géométrie et physique est d’abord interprétable ontologiquement : les termes géométriques ne se réfèrent pas à la réalité (la géométrie ne prédique rien de la réalité), à la différence des termes physiques, dont ils sont ontologiquement indépendants. Chez Poincaré, il s’agit d’une thèse épistémologique plus encore qu’ontologique. Les termes géométriques ne prédiquent rien d’observationnel. On ne préjuge pas de la réalité : si la référence réelle est possible, elle est en tout cas inobservable [34].

Les notions fondamentales de la mécanique n’ont aucun sens, si on les prend comme absolues. Poincaré a eu la conscience aigüe de cette impossibilité d’observer des positions et mouvements spatiaux absolus, et de l’importance de cette impossibilité pour la philosophie de la science. La non-pertinence totale de l’espace absolu pour l’observation ou l’expérimentation scientifique apparaît comme le fondement dernier du fait que le choix d’une géométrie pour la description des phénomènes physiques est une affaire purement conventionnelle.

Son « principe de relativité » ne pouvait dès lors coïncider avec celui d’Einstein, qui continue à croire à quelque chose comme un espace physique, se révélant plus proche en cela de Riemann, lequel parle toujours de l’« espace », au sens quasiment newtonien d’une réalité physique, réservoir de points, à la fois géométriques et physiques. Poincaré ne saurait en fin de compte adopter la position de Riemann parce qu’elle n’est pas cohérente avec la sienne propre, avec la séparation instituée entre géométrie et physique, et l’indifférence à la notion d’espace physique comme intermédiaire entre espace géométrique et espace représentatif.

Il n’est pas interdit de penser qu’il y avait peut-être aussi à cela une raison plus cachée, que peut seulement rendre visible l’histoire des mathématiques.

Il n’y avait pas de place pour le schéma de Klein dans la géométrie de Riemann.

Selon Klein, une géométrie est un espace, ou un ensemble de points, avec une structure, et les applications bijectives de l’espace sur lui-même qui conservent la structure forment un groupe, qu’on peut appeler groupe des automorphismes.

Selon Riemann, un automorphisme d’un espace riemannien est une application de l’espace sur lui-même conservant la distance, et il peut arriver que le seul automorphisme de l’espace soit l’identité. D’après Riemann et Helmholtz, seuls les espaces de courbure constante peuvent avoir « suffisamment » d’automorphismes. Aussi la géométrie elliptique, une géométrie à courbure constante positive, a été pendant longtemps appelée « géométrie riemannienne », de même que la géométrie hyperbolique a été appelée « lobatchevskienne » (ou « bolyaienne », ou « gaussienne »).

D’abord élaboré comme un principe de classification des géométries existantes et une aide, le programme de Klein finit par promouvoir l’idée que la géométrie peut être définie comme théorie des invariants d’un groupe. Quant à Riemann [35], il travaillait à l’intérieur d’une tradition géométrique plus ancienne que celle de Klein et du programme d’Erlangen. Il n’y a pas de coordonnées, ni de mouvements chez Euclide — pas plus qu’il n’y en a dans la formulation moderne, hilbertienne, des fondements de la géométrie. On ne vérifie pas la congruence des triangles en se donnant la peine de mouvoir le plan entier, une procédure inconcevable pour Euclide. Ce dont on a besoin, c’est de comparaisons de distances, et Riemann introduit les mesures de longueur sur les courbes. L’existence d’un groupe de mouvements conservant la congruence, dans les cas d’Euclide et de Hilbert, est une conséquence quasi accidentelle, a posteriori. Les coordonnées et les applications jouent un rôle secondaire en géométrie. C’est avec Klein qu’elles deviennent objet primordial, jusqu’à procurer la définition de son essence.

Il faudra attendre Elie Cartan pour apercevoir que les deux points de vue, de Klein et de Riemann, loin d’être irréconciliables, pouvaient être unifiés dans une grande synthèse susceptible de procurer un cadre géométrique adéquat aux théories les plus générales de la mécanique, relativistes ou non. L’inscription dans la tradition géométrique de Plücker-Lie, qui éloignait Poincaré de la voie riemannienne, devait aussi l’écarter de celle qui allait conduire aux accomplissements einsteiniens. Telle est la part de l’histoire, irréductible même à celle du génie.

Parties annexes