FR:

À la suite de plusieurs recherches situées dans le courant de l’Early Algebra (Jacobs, Franke, Carpenter, Levi et Battey, 2007; Schifter, 1997; Squalli, 2002), ce texte propose d’interroger les potentialités de savoirs à enseigner et enseignés sur la multiplication à l’école primaire convoquant la propriété de distributivité, pour favoriser l’entrée dans une pensée algébrique. À travers une réflexion à caractère épistémologique et didactique, nous cherchons à caractériser les spécificités de ces savoirs en appui sur une étude de manuels et de discours de futurs enseignants de primaire. Il s’agit d’explorer ce qui peut ou pourrait rendre visible, voire généraliser, des connaissances et des savoirs numériques liés à la distributivité en amont de l’introduction du langage algébrique.

EN:

Building on several research studies in Early Algebra (Jacobs, Franke, Carpenter, Levi & Battey, 2007; Schifter, 1997; Squalli, 2002), this article sets out to investigate the potential of the knowledge that is (expected to be) taught in primary school regarding multiplication and the distributive property with a view to facilitating students’ entry into algebraic thinking. In the context of an epistemological and didactic reflection, we attempt to characterize the specificity of this knowledge based on a study of textbooks and the discourse of future primary teachers. The intent is to explore what elements (could) help reveal or generalize the numeric knowledge and learning pertaining to distributivity upstream of students’ introduction to algebraic language.

ES:

Siguiendo varias investigaciones situadas en la corriente de Early Algebra (Jacobs, Franke, Carpenter, Levi y Battey, 2007, Schifter, 1997 y Squalli, 2002), este texto propone interrogar las potencialidades de los saberes a enseñar y que son enseñados en primaria, acerca de la multiplicación y el uso de la propiedad distributiva, con el fin de favorecer la entrada al pensamiento algebraico. A través de una reflexión de carácter epistemológico y didáctico, buscamos caracterizar las especificidades de dichos saberes basándonos en el estudio de manuales y del discurso de futuros docentes de primaria. Se trata de explorar lo que puede o podría hacerse visible, hasta generalizar conocimientos y saberes numéricos ligados a la distributividad con el fin de introducir el lenguaje algebraico.

FR:

Le courant actuel du développement de la pensée algébrique précoce (Early Algebra) réfléchit à une façon de présenter, dès le primaire, les concepts mathématiques que les élèves mobiliseront plus tard en algèbre. Dans ce cadre, nous nous intéressons plus particulièrement aux possibilités offertes par les nouvelles technologies et les jeux électroniques (ici Dragon Box Numbers et Dragon Box Algebra). Nous analysons ces jeux sous l’angle du développement de la pensée algébrique, en examinant notamment le statut qu’ils donnent à l’égalité et aux structures numériques, ainsi que sous l’angle des représentations qu’ils mettent en jeu, des traitements induits sur ces représentations et des articulations possibles avec les registres sémiotiques de l’algèbre.

EN:

Early Algebra ponders how to present primary school students with mathematical concepts that they will use later on in algebra. We focus more specifically on the possibilities offered in this regard by new technologies and electronic games (here Dragon Box Numbers and DragonBox Algebra). The article examines these games from the standpoint of developing algebraic thinking — in particular the status students assign to equality and to numeric structures — and from the perspective of the representations that the students mobilize, the treatment of these representations, and possible connections with the semiotic registers of algebra.

ES:

La corriente actual del desarrollo del pensamiento algebraico precoz (Early Algebra) busca una forma de presentar, desde la primaria, los conceptos matemáticos que los alumnos utilizarán más tarde en el álgebra. En este contexto, nos interesamos en forma particular en las posibilidades que ofrecen las nuevas tecnologías y los juegos electrónicos (en este caso Dragon Box Numbers y Dragon Box Algebra). Analizamos estos juegos desde el ángulo del desarrollo del pensamiento algebraico, especialmente el estatus que estos juegos dan a la igualdad y a las estructuras numéricas, como también desde el ángulo de las representaciones que incorporan, los tratamientos que derivan de esas representaciones y las articulaciones posibles con los registros semióticos del álgebra.

FR:

L’objectif de ce travail a été d’analyser les interactions verbales élèves-enseignantes mettant en évidence le rôle du langage dans le développement de la pensée algébrique dans une perspective historico-culturelle. Les interactions ont eu lieu grâce à des tâches dont la construction se basait sur la perception des régularités dans des suites non numériques. Cette recherche a été réalisée dans le cadre d’un partenariat entre des enseignantes de l’école primaire et des chercheurs associés à un master académique. Elle a été développée en contexte réel avec 29 élèves (8-9 ans) de 3^e année de l’école primaire. Les données recueillies montrent que les interactions verbales élèves-enseignantes favorisent le développement de la pensée algébrique sans l’introduction du langage mathématique (Mason, 2007; Radford, 2013, 2014).

EN:

The purpose of this study was to examine student-teacher verbal interactions that highlight the role of language in the development of algebraic thinking from a cultural-historical perspective. The interactions took place during tasks dealing with the perception of patterns in non-numeric sequences. The study was conducted as part of a partnership between primary school teachers and researchers associated with an academic master’s degree. The study was developed in a real-life context, with 29 third-grade primary students (8-9 years old). The collected data reveals that “students-teachers” verbal interactions are conducive to developing algebraic thinking without the introduction of mathematical language (Mason, 2007; Radford, 2013, 2014).

ES:

El objetivo de este trabajo ha sido analizar las interacciones verbales entre alumnos y profesores, poniendo en evidencia el rol del lenguaje en el desarrollo del pensamiento algebraico desde una perspectiva histórico-cultural. Las interacciones tuvieron lugar en situaciones donde las tareas demandadas tenían relación con la percepción de regularidades en secuencias no numéricas. Esta investigación fue realizada en el marco de un acuerdo entre profesores de primaria e investigadores asociados a una maestría; ella fue aplicada con 29 alumnos (de 8 a 9 años) de tercer año de primaria. Los datos recogidos muestran que las interacciones verbales “alumnos-profesores” favorecen el desarrollo del pensamiento algebraico sin la introducción del lenguaje matemático (Mason, 2007; Radford, 2013, 2014).

FR:

Nous présentons une analyse rétrospective de l’expérimentation réalisée auprès d’élèves de 6 à 8 ans au Québec pendant trois ans. Inspirés par les travaux de Davydov, nous avons conçu des activités de résolution de problèmes écrits ayant une structure additive simple permettant aux élèves de modéliser des relations entre les quantités faisant évoluer leur raisonnement mathématique. Les enseignants formés dans le cadre de l’expérimentation ont réalisé plusieurs activités de manipulation, modélisation et résolution avec les élèves, ce qui leur assure une meilleure réussite dans la résolution des problèmes. Notre analyse rétrospective de l’ensemble des interventions expérimentales réalisées nous a permis de clarifier certains éléments théoriques à considérer dans le développement du raisonnement algébrique chez les élèves.

EN:

This article presents a retrospective analysis of an experiment conducted with students 6–8 years old in Quebec over a three-year period. Inspired by the works of Davydov, we designed written problem-solving activities with a simple additive structure to enable students to model relationships between quantities and help them develop their mathematical reasoning. The teachers trained in the context of this experiment held several manipulation, modelling and solving activities with the students to give them a better chance at successful problem-solving. Our retrospective analysis of the experimental interventions during this initiative helps clarify certain theoretical elements to take into account when it comes to developing algebraic reasoning in students.

ES:

Presentamos un análisis retrospectivo de una experiencia realizada durante tres años con alumnos de entre 6 y 8 años en Quebec. Inspirados por los trabajos de Davydov, concebimos actividades de resolución de problemas que tenían una estructura aditiva simple, permitiendo a los alumnos modelizar relaciones entre las cantidades y así hacer evolucionar su razonamiento matemático. Los profesores formados en el marco de esta experiencia realizaron varias actividades de manipulación, modelización y resolución con los alumnos, lo que les permitía alcanzar mayor éxito en la resolución de problemas. Nuestro análisis retrospectivo del conjunto de intervenciones experimentales realizadas nos ha permitido aclarar ciertos elementos teóricos a considerar en el desarrollo del razonamiento algebraico de los alumnos.

FR:

Nous nous inscrivons dans le courant Early Algebra en soutenant que des connaissances et des raisonnements développés par les élèves en début de collège en France (11-12 ans) en arithmétique peuvent faciliter la transition de l’arithmétique à l’algèbre ou au contraire y faire obstacle. Nous définissons des critères pour analyser le rapport personnel des élèves à l’arithmétique en début de 5^e (12 ans), avant l’entrée dans l’algèbre. En nous plaçant dans le cadre de la théorie anthropologique, nous définissons ensuite des praxéologies (Chevallard, 1999) pour repérer la signification et le rôle que les élèves donnent à l’égalité, aux expressions numériques, aux propriétés des opérations, dont la distributivité, et au raisonnement analytique. Nous présentons l’évaluation de début de 5^e conçue dans ce cadre et analysons les réponses des élèves, puis ouvrons des perspectives sur les conditions d’un enseignement favorisant l’entrée dans l’algèbre.

EN:

Our research comes under the Early Algebra current, upholding that the arithmetic knowledge and reasoning developed by early middle-school students in France (11–12 years old) can facilitate, or conversely raise obstacles to, the transition from arithmetic to algebra. We define criteria for analyzing beginning cinquième (Canadian secondary two, 12 year old) students’ personal relationships to arithmetic before they start algebra. Drawing on anthropological theory, we then define praxeologies (Chevallard, 1999) for identifying the meaning and role that students assign to equality, numeric expressions, properties of operations including the distributive property, and analytical reasoning. We then present the beginning of cinquième evaluation designed in this context and examine the students’ answers, before exploring the instructional conditions that could facilitate students’ entry into algebra.

ES:

Nos adscribimos a la corriente Early Algebra sosteniendo que los conocimientos y los razonamientos desarrollados en aritmética por los alumnos que comienzan el nivel colegial en Francia (11 a 12 años) pueden facilitar la transición desde la aritmética al álgebra, o por el contrario, generar obstáculos a este paso. Definimos criterios para analizar la relación personal con la aritmética de los alumnos que comienzan el quinto grado (12 años), antes de entrar en el álgebra. Dentro del marco de la teoría antropológica, definimos a continuación praxeologías (Chevallard, 1999) para captar el significado y el rol que los alumnos entregan a la igualdad, a las expresiones numéricas, a las propiedades de las operaciones, entre ellas distributividad y al razonamiento analítico. Presentamos la evaluación concebida en este cuadro y aplicada al inicio del quinto grado y analizamos las respuestas de los alumnos, para después abrir las perspectivas acerca de las condiciones de una enseñanza que facilite la entrada al álgebra.

FR:

Cet article propose tout d’abord l’exploitation d’une activité de généralisation basée sur des motifs (patterns) figuratifs destinée à développer la pensée algébrique. L’activité a été organisée sur la base d’un modèle intégrant une structuration dans les processus de raisonnement basée sur le modèle de Dörfler (1991) en étroite interaction avec une structuration des symbolisations selon une chaîne de significations. Ensuite, cet article présente une analyse des raisonnements et des symbolisations des élèves de début du secondaire au cours de cette activité. Si les premiers résultats témoignent de la capacité des élèves à produire une grande diversité de moyens de généralisation, ils révèlent également certains obstacles rencontrés par les élèves dans le processus de généralisation ainsi que des difficultés à produire des formules utilisant le symbolisme algébrique.

EN:

This article proposes the use of a generalization activity based on figurative patterns. The activity was inspired by a model that incorporates a structuring of reasoning processes based on the Dörfler model (1991), in close interaction with a structuring of symbolizations according to a chain of meaning. Next, the article examines the reasoning and symbols used by early secondary-school students during this activity. The initial results attest to the students’ ability to produce a wide variety of means of generalization, expressed formally or informally. They also uncover that some students significantly struggle with the use of algebraic symbols, even when familiar.

ES:

Este artículo busca como primer objetivo proponer la explotación de una actividad de generalización basada en patrones figurativos. Esta actividad ha sido organizada sobre la base de un modelo que integra una estructuración en los procesos de razonamiento, basada en el modelo de Dörfler (1991), en estrecha relación con una estructuración de simbolizaciones basadas en una cadena de significados. En seguida, este artículo apunta a presentar un análisis de razonamientos y de simbolizaciones de alumnos de primer año de secundaria, durante el desarrollo de la actividad. Los primeros resultados dan muestras de la capacidad de los alumnos de producir una gran diversidad de medios de generalización, que se manifiestan de manera formal o informal. Ellos revelan también que ciertos alumnos tienen importantes dificultades en el uso de símbolos algebraicos bien conocidos.

FR:

Différentes recherches indiquent que les élèves présentent des difficultés à résoudre des problèmes algébriques. D’autres montrent qu’ils peuvent résoudre ce type de problèmes avant que l’algèbre soit enseignée. Cet article analyse ce que font les élèves avant et après l’enseignement de l’algèbre à l’école. Nous avons analysé la production de 528 élèves (6^e année à secondaire 2 au Québec, élèves de 11 à 14 ans). Les résultats indiquent que les procédures privilégiées lors de la résolution de problèmes algébriques sont semblables avant et après son enseignement. Nous observons deux catégories de difficultés: la compréhension de relations du problème et la manipulation d’équations algébriques. Identifier et discuter ces difficultés permet de mieux cibler des éléments de réflexion à considérer pour travailler les problèmes en classe et pour favoriser le passage de la résolution de problèmes écrits en mots vers l’écriture des expressions algébriques.

EN:

Some studies indicate that students struggle with solving algebra problems. Others show that they are able to solve such problems before they are taught algebra. This article examines what students do prior and subsequent to their school-based algebra instruction. We examined the productions of 528 students (6^th year of primary school to 2^nd year of secondary school in Quebec, students 11–14 years old). The results indicate that the procedures used to solve algebra problems are similar before and after students receive algebra instruction. Two categories of difficulties emerge: understanding problem relationships and manipulating algebraic equations. Identifying and discussing these difficulties offers a way to better determine elements of reflection to take into account in order to work on problems in class and to promote the shift from solving problems trough words to writing algebraic expressions.

ES:

Diversas investigaciones indican que los estudiantes presentan dificultades en la resolución de problemas algebraicos. Otras muestran que ellos pueden resolver este tipo de problemas antes de su enseñanza. Este artículo analiza lo que los alumnos hacen antes y después de la enseñanza del álgebra en la escuela. Hemos analizado la producción 528 estudiantes (desde sexto año de primaria hasta segundo año de secundaria en Quebec, cuyas edades fluctúan entre los 11 y los 14 años). Los resultados indican que los procedimientos privilegiados en la resolución de problemas algebraicos son similares antes y después de la enseñanza del álgebra. Observamos dos categorías de dificultades: por una parte, la comprensión de las relaciones en el problema y por otra, la manipulación de las ecuaciones. Identificar y discutir sobre esas dificultades permite enfocar mejor los elementos de reflexión que deben considerarse para trabajar con problemas en clase y para favorecer la transferencia de problemas descritos en palabras hacia la escritura de expresiones algebraicas.