Volume 22, Number 2, 1996 Les apprentissages mathématiques en situation Guest-edited by Philippe Jonnaert and Richard Pallascio

FR:

Le concept de situation peut prendre des significations très différentes en fonction du paradigme épistémologique auquel il se réfère. Cet article propose une réflexion constructiviste sur les situations proposées dans le cadre d'apprentissages scolaires en mathématiques. Il ouvre quelques pistes pour l'élaboration de situations porteuses de signification pour les élèves. Après avoir identifié le contexte et le paradigme épistémologique à l'intérieur desquels la réflexion proposée s'inscrit, l'article développe une approche constructiviste des situations.

EN:

The concept of "situation" takes on various meanings which vary in relation to the epistemological paradigm used. This article presents a constructivist interpretation of those situations developed for school-based mathematics learning. Several directions for elaborating situations which have meaning for students are presented. Following a description of the context and the epistemological paradigm within which the present proposals are made, the author develops a constructivist approach for defining situations.

ES:

El concepto de situacion puede tomar diferentes significados en funcion del paradigma epistemologico al cual hace referenda. Este articulo présenta una reflexion construc- tivista sobre las situaciones propuestas dentro del marco de los aprendizajes escolares en matematicas. Esto abre algunas pistas para la elaboracion de situaciones significativas para los alumnos. Una vez identificados el contexto y el paradigma epistemologico, el articulo desarrolla un enfogue constructivista de las situaciones.

DE:

Je nach dem epistemologischen Paradigma, auf den sich der Begriff der Situation stiitzt, kann dieser sehr verschiedene Bedeutungen annehmen. Dieser Artikel schlâgt eine konstruktivistische Uberlegung vor iiber die Situationen, die innerhalb des Mathematik-unterrichts vorgeschlagen werden. Er macht einige Anregungen zur Schaffung von fur die Schiiler bedeutungsvollen Situationen. Der Artikel legt zunachst den Zusammenhang und das epistemologische Paradigma dar, zu dem die hier angestellte Uberlegung gehort, und entwickelt dann eine konstruktivistische Méthode der Situationen.

FR:

L'introduction à l'algèbre se fait très souvent en imposant à l'élève la maîtrise d'un langage symbolique complexe et sans signification précise. Nous présentons ici une voie alternative structurée autour d'une séquence d'enseignement. L'analyse des verbalisations de deux groupes d'élèves de 9e année (3e secondaire) fait ressortir que ces derniers arrivent à construire les idées algébriques de base dans un contexte de résolution de problèmes et à symboliser ces idées.

EN:

The introduction of algebra to students in formal school environments is most often presented by requiring mastery of a complex symbolic language which has little significance for the student. The authors present a teaching sequence which offers an alternative means for introducing algebra. An analysis of the verbal reports of two groups of grade 9 students (Secondary III) showed that these students construct basic algebraic concepts within a context of problem-solving, and then begin to create symbolic concepts.

ES:

La introduccion al algebra se hace frecuentemente imponiendo al alumno el dominio de un lenguaje simbolico complejo y sin una signification précisa. Presentamos aqui una alternativa estructurada en torno de una secuencia didâctica. El analisis de la verbalization de dos grupos de alumnos de 9° ano (3° de secundaria) senala que los alumnos llegan tanto a construir las ideas algebraicas basicas dentro de un contexto de resolution de problemas como a simbolizar de sus ideas.

DE:

Bei der Einfiihrung in die Algebra wird vom Schiller sehr oft die Beherrs- chung einer komplexen symbolischen Sprache ohne genaue Bedeutung auferlegt.Wir schlagen hier eine Alternative vor, die in eine Unterrichtsreihe gegliedert ist. Die Analyse der Àufêerunger von zwei Gruppen von Schulern der neunten Klasse (dritte Klasse der Mittelschule) ergiebt, dafi dièse innerhalb einer Aufgabenlôsungssituation selber algebraische Ideen konstruieren und dièse Ideen symbolisieren kônnen.

FR:

Cet article traite des difficultés qu'éprouvent plusieurs futurs enseignants à articuler les domaines de l'arithmétique et de l'algèbre dans un contexte de résolution de problèmes. L'analyse d'entrevues réalisées auprès d'apprentis-enseignants qui mettent spontanément en place une dialectique entre ces domaines de connaissances illustre les différents statuts et rôles que peuvent prendre tour à tour l'arithmétique et l'algèbre dans le processus de résolution de problèmes. Les résultats font ressortir le rapport aux savoirs arithmétique et algébrique qu'il serait souhaitable de retrouver chez les futurs enseignants et les aspects qu'il serait opportun de travailler non seulement avec eux mais aussi avec les élèves.

EN:

This article examines difficulties which many future teachers have in explaining the areas of arithmetic and algebra in the context of problem-solving. An analysis of interviews administered to student-teachers, who spontaneously create a dicotomy between these two areas, illustrates the different roles that arithmetic and algebra play in the problem-solving process. The results point out those concepts related to artihmetic and algebra with which future teachers should be familiar and which understandings should be developed by both teachers and students.

ES:

Este articulo estudia las dificultades de muchos maestros en la articulacion de la aritmética y el algebra en un contexto de resoluciôn de problemas. El anàlisis de entrevistas realizadas con maestros en formacion que aplican espontàneamente una dialéctica entre estos dos dominios de conocimiento, ilustra los diferentes status y roles que pueden tomar la aritmética y el algebra en el proceso de solucion de problemas. Los resultados hacen remarcar la relacion entre los saberes de la aritmética y el algebra, que séria diseable encontrar en los futuros maestros y los aspectos que séria oportuno trabajar no solamente con los maestros sino también con los alumnos.

DE:

In diesem Artikel geht es um die Schwierigkeiten, auf die kunftige Lehrer stotëen bei dem Versuch, die Gebiete der Arithmetik und der Algebra im Rahmen der Aufgabenlôsung in Zusammenhang zu bringen. Die Analyse von Unterredungen mit Lehramtsanwârtern, die spontan eine Dialektik zwischen diesen Wissensgebieten herstellen, bringt die verschiedenen Rollen zum Vorschein, die die Arithmetik und die Algebra abwechselnd oder gleichzeitig in einem Aufgabenlôsungsprozefi spielen kônnen. Aus den Ergebnissen geht hervor, was fur ein Verhàltnis die kiïnftigen Lehrer zu den diesen beiden Wissensgebieten haben sollten und welche Aspekte man nicht nur mit ihnen, sondern auch mit den Schulern durcharbeiten sollte.

FR:

Le comptage est une activité dirigée vers un but étroitement lié au concept de cardinalité. Les concepts de comptage et de la cardinalité sont définis respectivement en relation avec les travaux de Gelman et Gallistel (1978) et de Sophian ( 1987, 1988, 1991). Les données ont été recueillies auprès de 94 enfants de 5 à 8 ans à l'aide d'épreuves de comptage et de cardinalité. Les résultats montrent que l'acquisition des principes relatifs au comptage et de la cardinalité est un processus lent et progressif.

EN:

Counting is an activity which is directed to an objective clearly related to the concept of cardinality. These two concepts are defined in relation to the works of Gelman and Gallistel ( 1978) and to Sophian ( 1987, 1988, 1991 ). The data for this study was collected from 94 children aged 5 to 8 years using tests of counting and comprehension of cardinality The results show that the acquisition of principles related to these concepts is a slow and progressive process.

ES:

Contar es una actividad dirigida hacia una meta estrechamente ligada al concepto de cardinalidad. Los conceptos de contar y de cardinalidad son definidos respectivamente en relacion con los trabajos de Gelman y Gallistel ( 1978) y de Sophian ( 1987, 1988, 1991 ). Los datos obtenidos de 94 ninos de 5 a 8 anos de edad sobre cuentas y cardinales muestran que la adquisicion deprincipios de contes y cardinalidad es un proceso lento y progresivo.

DE:

Zahlen geht immer aufetwas hinaus, das mit dem Begrirfder Grundzahl eng verbunden ist. Die Begriffe des Zâhlens und der Grundzahl werden hier unter Berufung auf die Arbeiten von Gelman und Gallistel (1978), bzw. die von Sophian (1987, 1988, 1991) definiert. Die Daten wurden gesammelt, indem 94 fùnf- bis achtjàhrige Kinder einer Zàhl- und Grundzahlprufung unterzogen wurden. Die Ergebnisse zeigen, datë das Erlernen der Prinzipien des Zàhlens und der Grundzahl ein langsamer und allmâhlicher Prozetë ist.

FR:

Cet article fournit quelques réflexions théoriques sur les éléments constitutifs des problèmes additifs et sur leur organisation sémantique. Les typologies de problèmes de Riley, Greeno et Heller (1983) et de Vergnaud (1983) ont permis de construire un outil pour examiner comment l'élève traite la sémantique des problèmes. L'analyse des résultats montre que les typologies sont des outils intéressants pour constituer des énoncés variés, mais non pour refléter le fonctionnement réel de l'élève dans la résolution de problèmes.

EN:

This article provides some theoretical ideas on the elements of addition problems and on their semantic organization. Problem typologies described by Riley, Greeno, and Heller (1983) and Vergnaud (1983) were used to construct a tool for examining how a student deals with the semantic aspect of problems. Analysis of the results shows that these typologies are instruments which can be used to gather various problem statements, but not for reflecting the real behavior of the student in problem-solving tasks.

ES:

Este articulo présenta algunas reflexiones teoricas sobre los elementos consti- tutives de problemas de adicion y sobre su organizacion semantica. Las tipologfas de Riley, Greeno y Heller (1983) y de Vergnaud (1983) han permitido construir un instrumento para examinar como trata el alumno la semantica de los problemas. El anâlisis de resultados demuestra que las tipologfas son herramientas interesantes para construir diferentes enun- ciados, pero no para reflejar el funcionamiento real del alumno en la soluciôn de problemas.

DE:

Im vorliegenden Artikel werden einige theoretische Uberlegungen angestellt ùber die Bestandteile der Additionsaufgaben und iïber ihre semantische Gliederung. Mit Hilfe der Aufgabentypologien von Riley, Greeno und Heeler (1983) und von Vergnaud (1983) konnte eine Méthode entwickelt werden zur Untersuchung der Art und Weise, wie der Schiller mit der Semantik der Aufgaben umgeht. Die Analyse der Ergebnisse zeigt, dal? dieTypologien zwar bei der Formulierung von verschiedenen Vorraussetzungen sehr niitzlich sind, aber nicht dazu dienen, das tatsâchliche Vorgehen des Schiïlers bei der Lôsung von Aufgaben darzustellen.

FR:

Cet article a pour objectif de regarder l'enseignement du point de vue de l'élève. Un dispositif de recherche à deux temps a permis d'observer des élèves du secondaire (16-17 ans) en situation de classe d'abord, puis en situation hors classe en effectuant avec eux un retour sur les travaux réalisés en classe et corrigés par le professeur. L'étude fait ressortir, d'une part, que les savoirs enseignés par le maître ne constituent qu'une faible partie des apprentissages des élèves et que, d'autre part, ces apprentissages se produisent souvent hors du temps d'enseignement.

EN:

The objective of this article is to examine teaching from the students' perspective. A two-stage research design provided observational data of secondary level students (16-17 year olds) both in classroom situations and outside the classroom, through a discussion amongst themselves regarding teacher-corrected assignments. The study showed that the content material taught by the teachers is only a small component of students' learning and, significantly, that much learning often results from situations outside formal teaching.

ES:

En este articulo se ve la ensenanza desde el punto de vista del alumno. Un dispositivo de investigacion en dos etapas ha permitido observar alumnos de secundaria (16-17 anos), primero en una situacion inicial de clase y después en una situaciôn fuera de clase, en donde se examiné con ellos los trabajos realizados en clase y corregidos por el maestro. El estudio hace resaltar por un lado que los saberes ensenados por el maestro no constituyen mas que una pequena parte del aprendizaje de los alumnos y que, por otra parte, este aprendizaje se produce frecuentemente fuera del periodo de clase.

DE:

Dieser Artikel betrachtet den Unterricht aus der Sicht des Schûlers. Im Rahmen eines zweiteiligen Forschungsprojektes wurden sechzehn- und siebzehnjàhrige Schùler der Mittelschule zunàchst wâhrend der Unterrichtsstunde beobachtet. Dann wurde ihnen die Gelegenheit gegeben, auEerhalb der Klasse noch einmal auf die wâhrend des Unterrichts gemachten und vom Lehrer korrigierten Arbeiten einzugehen. Aus der Studie geht hervor, einerseits, dafi das, was der Lehrer lehrt, nur ein kleinerTeil von dem ausmacht, was die Schiïler tatsâchlich lernen und datë andererseits vieles aufêerhalb des eigentlichen Unterrichts gelernt wird.

FR:

Cet article présente une étude exploratoire sur l'enseignement de la géométrie dans la scolarité obligatoire et sur ses effets à long terme. Il rapporte d'abord l'analyse, faite à partir du concept de situation, de différentes présentations d'une connaissance géométrique: le parallélisme de deux droites, dans des manuels anciens et nouveaux et à différents niveaux d'enseignement. Il compare ensuite les résultats d'une expérience proposée à 20 élèves de lycée, qui ont été amenés à traiter des problèmes de façon empirique, aux résultats obtenus par un traitement théorique. Les résultats de la classe montrent que, dans un contexte non prototypique, les élèves ne parviennent pas à utiliser sans aide ce qu'ils ont appris.

EN:

This article presents an exploratory study on geometry teaching in the context of formal schooling and on its long term effects. The author presents an analysis, based on the concept of situation, of the various presentations of a geometry concept: the parallel of two straight lines, as presented in both old and new school texts and at various grades. The author compares the results of an experiment presented to 20 secondary level students who were asked to solve problems in a empirical way with those results obtained from a theoretical treatment. These results show that, in a non-prototypical context, students do not use what they have learned without help.

ES:

Este articulo présenta un estudio exploratorio sobre la ensenanza de la geometna dentro de la escolaridad obligatoria y sobre sus efectos a largo plazo. Se analizan primero, a partir del concepto de situation, diferentes presentaciones de un concepto geométrico: el paralelismo de dos rectas, en manuales antiguos, y nuevos y en diferentes nivelés escolares. Después se comparan los resultados de una experiencia con 20 alumnos de un liceo, que habfan tratado estos problemas de forma empirica, con los resultados obtenidos con un tratamiento teorico. Los resultados de la clase muestran que, dentro de un contexto atipico, los alumnos no llegan a utilizar sin ayuda Io que habfan aprendido.

DE:

Der vorliegende Artikel berichtet iiber eine Untersuchung des Geometrie- unterrichts als Pflichtfach und dessen Wirkung ùber làngere Zeit hin. Zunàchst werden, ausgehend vom Begriff der Situation, verschiedene Darstellungen eines geometrischen Grundsatzes - die Parallelitàt zweier Geraden - in àlteren und neuen Schulbûchern verschiedener Klassenstufen analysiert. Daraufhin werden die Ergebnisse eines Experiments, bei dem zwanzig Gymnasiasten die Aufgaben empirisch studieren mufêten, mit den auf theoretische Weise erzielten Ergebnissen verglichen. Aus den Ergebnissen der Klasse geht hervor, datë es den Schiilern bei nicht urtypischen Verhâltnissen nicht gelingt, das, was sie gelernt haben, ohne Hilfe auch anzuwenden.

FR:

Cet article présente la synthèse d'une étude sur les difficultés des élèves du secondaire à produire des démonstrations en géométrie. Il aborde ce problème dans un cadre d'exploration et à partir d'une analyse du rapport liant le raffinement de la caractérisation des objets mathématiques au développement de la validation mathématique. Le traitement expérimental proposé pour résoudre ce problème illustre le rôle que joue la manipulation dans le raffinement de la caractérisation des objets et dans le développement de la validation mathématique.

EN:

This article presents the results of a study of secondary level students' difficulties in producing geometry demonstrations. This problem is examined within an exploratory frame and is based on an analysis of links between the characterization of mathematical objects and the development of mathematical validation. The experimental treatment proposed illustrates the role of manipulation in representing objects and in developing mathematical validation.

ES:

Este articulo présenta la sfntesis de un estudio de dificultades de alumnos de secundaria en la realizacion de demostraciones geométricas. Se aborda el problema dentro de un marco de exploracion partiendo de un analisis de la relacion entre el refinamiento de la caracterizacion de objetos matemàticos y el desarrollo de una validaciôn matemàtica. El tratamiento experimental ilustra el papel que juega la manipulacion dentro del refinamiento de la caracterizacion de objetos y dentro del desarrollo de la validaciôn matemàtica.

DE:

Im vorliegenden Artikel wird zusammenfassend eine Studie dar- gestellt iiber die Unfâhigkeit der Schiller der Mittelschule, geometrische Beweisfiïhrungen anzustellen. Dieses Problem wurde innerhalb von Experimentierperioden untersucht, wobei ausgegangen wird von einer Analyse des Verhâltnisses zwischen der Verfeinerung der Vorstellung, die der Schiller von mathematischen Objekten hat, und der Entwicklung der mathematischen Bestàtigung. Das experimentelle Verfahren, das hier zur Lôsung dieses Problems vorgeschlagen wird, bezeugt die Rolle, die die konkrete Handhabung bei der Verfeinerung der Objektvorstellungen und bei der Entwicklung der mathematischen Bestàtigung spielt.

FR:

Cet article présente un exemple d'utilisation de la méthodologie des situations didactiques pour identifier un obstacle didactique dans un problème d'enseignement des mathématiques: il s'agit de l'enseignement du concept d'angle de secteur aux élèves entre 10 et 13 ans. En s'appuyant sur l'analyse d'erreurs faites par les élèves, les auteurs reprennent à leur compte l'identification d'une conception erronée de l'angle déjà formulée par Balacheff. Ils proposent une explication à la production de cette conception par l'enseignement usuel et présentent de manière détaillée un processus d'enseignement qu'ils ont élaboré et qui permet aux élèves de surmonter cet obstacle.

EN:

This article presents an example of a methodology of didactic situations as used to identify difficulties in teaching a mathematics problem. The problem examined relates to the teaching of the concept of angle to students aged 10 to 13 years. Based on an analysis of students' errors, the authors identify those errors in understanding the concept which were previously described by Balacheff. They propose that one explanation of the production of conceptual errors is the usual teaching methodology. The authors present a detailed description of their own teaching process which allows students to overcome these difficulties.

ES:

Este articulo présenta un ejemplo de utihzaoôn de la metodologia de situaciones didacticas para identificar obstâculos didacticos en un problema de matematico: la ensenanza del concepto de angulo de sector a alumnos de 10 a 13 anos de edad. Apoyàndose en el anàlisis de errores cometidos por los alumnos, los au to res retoman la identifîcacion de una concepciôn erronea de angulo formulada por Balacheff. Los investigadores proponen una explicaciôn de la production de esta concepciôn en la ensenanza usual y presentan de forma detallada un proceso de ensenanza que permite a los alumnos superar este obstaculo.

DE:

In diesem Artikel wird die Méthode der didaktischen Situationen exemplarisch angewendet, um ein didaktisches Hindernis innerhalb des Mathematikun- terrichts zu ermitteln: es handelt sich dabei um den Begriff des Sektorenwinkels bei zehn- bis dreizehnjàhrigen Schulern. Die Verfasser berufen sich auf die Analyse der von den Schûlern gemachten Fehler und iibernehmen die schon von Balacheff formulierte Idee eines falschen Winkelverstàndnisses. Sie binden den Ursprung dieses Verstàndnisses an den ûblichen Unterricht und beschreiben dann ausfûhrlich eine Unterrichtsreihe, die sie ausgearbeitet haben und die es den Schulern ermôglicht, dieses Hindernis zu iiberwinden.

FR:

Cet article traite d'une recherche collaborative réalisée avec une école-recherche associée au CIRADE et pratiquant une pédagogie du projet. Cette recherche avait pour objectifs de développer des outils d'exploration et de communication afin que l'élève puisse composer avec son environnement de travail, intégrer la gestion de l'espace dans ses apprentissages, évaluer ses besoins spatiaux. Les observations des chercheurs permettent d'analyser le développement des opérations intellectuelles et des compétences géométriques d'élèves de 5 à 12 ans en situation de concevoir et de gérer leur propre espace de travail.

EN:

This article reports on a collaboration research project developed with a CIRADE-associated school involved in project teaching. The objectives of this research included the development of tools for exploring and comunicating to help the student deal with his work environment, the management of space in his learning, and the evaluation of his spatial needs. The authors' observations provided data to analyse the development of cognitive operations and of geometric abilities for students aged 5 to 12 who are in the process of conceptualizing and managing their work space.

ES:

Este articulo présenta una investigacion realizada con la colaboracion de una escuela asociada al CIRADE donde se practica una pedagogia de proyectos. La investigacion tiene por objetivos desarrollar herramientas de exploraciôn y comunicaciôn con la finalidad de que los alumnos puedan crear dentro de su ambiente de trabajo, integrar esta administracion del espacio a sus aprendizajes y evaluar sus necesidades espaciales. Las observaciones de los investigadores permitieron analizar el desarrollo de las operaciones intelectuales y las competencias geométricas de alumnos de 5 a 12 anos en situaciones de concepcion y gestion de su propio espacio de trabajo.

DE:

Dieser Artikel handelt von einem Forschungsprojekt, das in Zusam- menarbeit mit einer Grundschule unternommen wurde, die mit dem CIRADE in Verbindung steht und in der eine projektausgerichtete Pàdagogik betrieben wird. Mit dieser Forschung wurde versucht, Experimentier- und Kommunikationsmittel zu entwickeln, um dem Schiller zu helfen, sich in seiner Arbeitsumgebung zurechtzufmden, dièse Raumgestaltung in den Lernprozef? zu integrieren und seine ràumlichen Bedûrfnisse abzuschâtzen. Die angestellten Beobachtungen fiihren zur Analyse der Entwicklung der intellektuellen Verfahren und der geometrischen Kompetenz von funf-bis zwôlfjâhrigen Schulern, denen erlaubt wurde, ihren eigenen Arbeitsraum zu gestalten und zu verwalten.