FR :

Nous présentons dans cet article les analyses d’entretiens menés dans le cadre d’un projet pilote sur les suites non numériques (répétitives et croissantes) auprès de 18 élèves de 4 à 6 ans fréquentant le jardin ou la maternelle dans deux écoles de l’Ontario. Nous avons étudié les composantes d’une pensée algébrique en déterminant les niveaux de performance associée à la tâche à résoudre chez les élèves ainsi que les erreurs et les connaissances numériques interférant dans le processus d’analyse de telles suites. Cette étude nous a permis de caractériser le potentiel d’élèves du préscolaire dans la réalisation d’une tâche portant sur les suites non numériques et, conséquemment, d’identifier des éléments pouvant contribuer ou entraver le développement d’une pensée algébrique.

EN :

In this article, we present analysis of interviews conducted as part of a pilot project on non-numerical (repetitive and growing) sequences among 18 four- to six-year-olds enrolled in kindergarten or preschool in two French-language schools in Ontario. We studied the components of algebraic thinking by identifying the performance levels associated with the tasks to be solved by students, as well as the errors and interfering numerical knowledge in the process of analyzing such sequences. The study allowed us to describe the preschool students’ potential in performing a task related to non-numerical sequences, and, consequently, to pinpoint elements that may contribute to or hinder the development of algebraic thinking.

ES :

Presentamos en este artículo, los análisis de entrevistas llevadas a cabo en el marco de un proyecto piloto sobre secuencias no numéricas (repetitivas y crecientes) con 18 alumnos de cuatro a seis años que asistían a los jardines infantiles o al preescolar en dos escuelas de la provincia de Ontario. Hemos estudiado los componentes de un pensamiento algebraico identificando los niveles de desempeño asociados con la tarea a resolver por los alumnos, así como los errores y el conocimiento numérico que interfieren en el proceso de análisis de tales secuencias. Este estudio nos permitió caracterizar el potencial de los alumnos de preescolar para llevar a cabo una tarea relacionada con secuencias no numéricas y, en consecuencia, identificar elementos que pueden contribuir o dificultar el desarrollo del pensamiento algebraico.

FR :

L’objet de ce texte est de proposer un cadre d’analyse des raisonnements d’élèves dans la résolution de problèmes de partage inéquitable pouvant être utilisés au primaire et au début du secondaire. Ce cadre repose sur la considération des deux dimensions suivantes : 1) le degré d’analycité du raisonnement et 2) la nature du registre de représentation sémiotique (Duval, 1995) des inconnues et des équations. Les fondements épistémologiques de ce cadre d’analyse s’appuient sur une brève analyse de certaines étapes du développement historique de l’algèbre. Ensuite, les différentes catégories de raisonnement sont illustrées au moyen d’exemples prototypiques issus de productions d’élèves.

EN :

This text sets forth a framework for analyzing student reasoning in solving unequal sharing problems that can be used in elementary school and early secondary school. The framework is based on a consideration of two dimensions: 1) the degree of analycity of the reasoning and 2) the nature of the register of semiotic representation (Duval, 1995) used for unknowns and equations. The epistemological foundations of this analytical framework are based on a brief analysis of certain stages in the historical development of algebra. Next, the different categories of reasoning are illustrated using prototypical examples drawn from student productions.

ES :

El propósito de este texto es proporcionar un marco para analizar el razonamiento de los estudiantes para resolver problemas de reparto no equitativo o reparto desigual que pueden usarse en primaria y al inicio de secundaria. Este marco se basa en la consideración de las dos siguientes dimensiones: 1) el grado de razonamiento analítico y 2) la naturaleza del registro de representación semiótica (Duval, 1995) de las incógnitas y las ecuaciones. Los fundamentos epistemológicos de este marco de análisis se basan en un breve análisis de ciertas etapas en el desarrollo histórico del álgebra. Luego, las diferentes categorías de razonamiento son ilustradas mediante ejemplos prototípicos provenientes de producciones de los alumnos.

FR :

L’article présente les résultats d’une recherche visant à documenter la nature analytique des raisonnements mobilisés par les élèves de 12 à 14 ans du premier cycle du secondaire (première secondaire et deuxième secondaire) au Québec dans la résolution de problèmes de comparaison en vue du développement de la pensée algébrique. Nous avons effectué des analyses qui consistent à cerner la nature analytique de ces raisonnements et la nature des registres de représentation utilisés. Elles ont permis de mettre en évidence trois grandes catégories de raisonnements : non analytiques, à tendance analytique et analytiques, ainsi que trois grandes catégories de registres de représentation : purement numérique, intermédiaire et algébrique. Nous présentons d’abord les catégories et les types de raisonnements, ensuite nous ferons une comparaison entre la première secondaire et la deuxième secondaire et enfin nous conclurons par l’importance de plonger l’élève très tôt dans les activités mathématiques riches et pertinentes qui contribuent au développement de la pensée algébrique.

EN :

This article presents the results of a research study seeking to document the analytical nature of the reasoning used by students ages 12 to 14 in the first cycle of school secondary (secondary 1 and 2) in Quebec in order to solve comparison problems aimed at the development of algebraic thinking. Analysis was performed to determine the analytical nature of this reasoning and the registers of representation employed by students. This analysis highlighted three main categories of reasoning: synthetic, analytical-leaning and analytical, as well as three main categories of registers of representation: purely numerical, intermediate and algebraic. The categories and types of reasoning are presented first, followed by a comparison between secondary 1 and secondary 2 and finally a look at the importance of immersing students very early on in rich, relevant mathematical activities that contribute to developing algebraic thinking.

ES :

El artículo presenta los resultados de la investigación destinada a documentar la naturaleza analítica de los razonamientos utilizados por alumnos de 12 a 14 años del primer ciclo de secundaria (secundaria 1 y secundaria 2) en Quebec durante la resolución de problemas de comparación en vista del desarrollo del pensamiento algebraico. Hemos llevado a cabo análisis que consisten en determinar la naturaleza analítica de estos razonamientos y la de los registros de representación utilizados. Estas nos han permitido resaltar tres principales categorías de razonamientos: sintéticos, con tendencias analíticas y analíticas, así como tres categorías principales de registros de representación: puramente numéricos, intermedios y algebraicos. Primero presentamos las categorías y tipos de razonamiento, luego haremos una comparación entre secundaria 1 y secundaria 2 y finalmente concluiremos conla importancia de sumergir al estudiante desde muy temprano en actividades matemáticas ricas y pertinentes que contribuyen al desarrollo del pensamiento algebraico.

FR :

Dans les manuels de mathématique québécois du premier cycle du secondaire, favoriser l’expression d’un raisonnement analytique conjugué au désir de convaincre l’élève de recourir au langage littéral semblent être les motifs justifiant l’augmentation de problèmes dont la modélisation peut se traduire par une équation où l’on retrouve l’inconnue dans les deux membres de l’égalité. Cet article expose les résultats d’une étude comparative de ces problèmes que nous avons nommés « mise en égalité » qui ont été recensés dans des manuels issus des réformes de 1992 et 2003. À partir du travail de Marchand et Bednarz (1999), les classes de problèmes, les cadres en jeu ainsi que la représentation et le degré d’explicitation de la mise en égalité seront discutés.

EN :

In the secondary-level (cycle 1) mathematics textbooks of Quebec, the increase in problems involving modelling that can translate into equations with an unknown on both sides of the equal sign appears to be driven by a promotion of analytical reasoning, in conjunction with a desire to convince students to use literal language. This article presents the results of a comparative study of these problems, referred to here as “equalization,” as reviewed in textbooks stemming from the 1992 and 2003 reforms. Building on the work of Marchand and Bednarz (1999), the article discusses classes of problems, the frameworks involved as well as representations and degrees of explicitation associated with this equalization.

ES :

En los libros escolares de matemáticas de Quebec del primer ciclo de secundaria, favorecer la expresión de un razonamiento analítico combinado con el deseo de convencer al alumno de recurrir al lenguaje literal, parecen ser las razones que justifican el aumento de problemas cuyo modelado se puede traducir por una ecuación donde encontramos lo desconocido en los dos miembros de la igualdad. Este artículo presenta los resultados de un estudio comparativo de estos problemas que hemos denominado “igualación”, que han sido identificados en los libros de texto de las reformas de 1992 y 2003. A partir del trabajo de Marchand y Bednarz (1999), se discutirán las clases de problemas, los marcos en juego, así como la representación y el grado de explicitación de la “igualdad”.

FR :

La théorie anthropologique du didactique attribue un rôle déterminant au questionnement du savoir mathématique et propose comme outil d’analyse l’élaboration de modèles épistémologiques de référence (MER). Nous présentons un MER du développement de l’algèbre scolaire qui s’inscrit dans un modèle plus large permettant d’articuler l’arithmétique, l’algèbre, les nombres relatifs, la modélisation fonctionnelle et le calcul différentiel. Ce modèle prend comme point de départ les « programmes de calcul » et considère l’algèbre comme un processus de modélisation structuré en trois étapes. Nous illustrons sa potentialité pour la création et l’analyse de séquences didactiques dans la première étape du processus d’algébrisation.

EN :

The anthropological theory of the didactic sets out the questioning of mathematical knowledge as playing a decisive role, and proposes the development of reference epistemological models (REMs) as an analytical tool. We present a REM of the development of school algebra that fits into a broader model connecting arithmetic, algebra, relative numbers, functional modeling and differential calculus. This model takes “calculation programs” as a starting point, viewing algebra as a structured modeling process in three stages. We illustrate the potential of this model for creating and analyzing didactic sequences in the first stage of the algebrization process.

ES :

La teoría antropológica de lo didáctico atribuye un rol determinante al cuestionamiento del conocimiento matemático y propone como herramienta de análisis la elaboración de modelos epistemológicos de referencia (MER). Presentamos un MER del desarrollo del álgebra escolar que forma parte de un modelo más amplio que permite articular la aritmética, el álgebra, los números relativos, la modelización funcional y el cálculo diferencial. Este modelo toma como punto de partida los “programas de cálculo” y considera el álgebra como un proceso de modelización estructurado en tres etapas. Ilustramos su potencial para la creación y análisis de secuencias didácticas en el primer paso del proceso de algebrización.

FR :

L’éducation inclusive, qui préconise la scolarisation dans un cadre le plus normal possible, s’impose comme la voie privilégiée pour favoriser la réussite éducative de tous les élèves. Malgré les conditions suggérées pour soutenir celle-ci, l’expérience scolaire des élèves présentant des difficultés comportementales reste difficile. Est-il possible que ces conditions ne tiennent pas compte du point de vue des élèves? La méthode de recension des écrits (n = 42 études: 31 qualitatives, 2 quantitatives, 7 mixtes, 2 recensions) a permis de répondre à l’objectif d’identifier les conditions qui soutiennent ou freinent la scolarisation en classe ordinaire selon les élèves présentant des difficultés comportementales. Dans les deux cas, la relation avec l’enseignant s’avère la condition la plus souvent mentionnée. Les résultats sont discutés à la lumière des caractéristiques méthodologiques des ouvrages pour orienter les futures études.

EN :

Inclusive education, which advocates for schooling in the most normal setting possible, stands as the preferred way to promote the educational success of all students. Yet in spite of the conditions suggested to support inclusive education, students with behavioural difficulties continue to struggle in their educational experience. Is it possible that these conditions fail to take the students' point of view into account? A literature review method (n = 42 studies: 31 qualitative, 2 quantitative, 7 mixed, 2 reviews) was conducted to pinpoint the conditions that support or hinder regular classroom schooling, according to students exhibiting behavioural difficulties. In both cases, the most frequently mentioned condition was students’ relationship with their teacher. The results are discussed in light of the studies’ methodological characteristics, with a view to guiding future studies.

ES :

La educación inclusiva, que preconiza la escolarización en un entorno lo más normal posible, se destaca como la forma preferida de promover el éxito educativo de todos los alumnos. A pesar de las condiciones sugeridas para apoyarla, la experiencia educativa de los alumnos con dificultades de comportamiento sigue siendo difícil. ¿Es posible que estas condiciones no tengan en cuenta el punto de vista de los alumnos? El método de revisión de la literatura (n = 42 estudios: 31 cualitativos, 2 cuantitativos, 7 mixtos, 2 recensiones) permitió alcanzar el objetivo de identificar las condiciones que según los estudiantes que presentan dificultades de comportamiento, apoyan u obstaculizan la escolarización en un aula regular. En ambos casos, la relación con el docente resulta ser la condición más frecuentemente mencionada. Los resultados se discuten a la luz de las características metodológicas de los trabajos para guiar futuros estudios.